Bài 4.25 (Trang 84 SGK Toán lớp 7 - Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 1):

Cho tam giác ABC và M là  trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Hướng dẫn giải:

a)

Do M là trung điểm của BC nân MB = MC.

Do $AM\perp BC$ nên tam giác AMB vuông tại M, tam giác AMC vuông tại M.

Xét hai tam giác AMB vuông tại M và AMC vuông tại M, ta có:

AM chung

MB = MC (chứng minh trên)

Do đó, $∆AMB=∆AMC (2 cạnh góc vuông)$

Khi đó, AB = AC (2 cạnh tương ứng)

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

b)

Do AM là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA.

Xét hai tam giác AMC và IMB có:

AM = IM (theo giả thiết)

$\widehat{AMC}=\widehat{IMB }$ (hai góc đối đỉnh)

MC = MB (Theo giả thiết)

Do đó, $∆AMC=∆IMB$ (c-g-c)

c) Khi đó : $\widehat{CAM}=\widehat{BIM} (2 góc tương ứng )$ và AC = BI (2 cạnh tương ứng)

Mà $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ nên $\widehat{BAM}=\widehat{BIM} Hay \widehat{BAI}=\widehat{BIA}$ nên tam giác BIA cân tại B hay BO = BA.

Mà BI = AC nên AC = AB.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.