Lý thuyết Vectơ trong không gian

1. Định nghĩa: Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> chỉ véctơ có điểm đầu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>, điểm cuối <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math>. Véctơ còn đc kí hiệu là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></math> 2. Các quy tắc về véctơ - Quy tắc 3 điểm: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math>                  Hoặc: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> - Quy tắc hình bình hành: cho hình bình hành <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></math>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> - Quy tắc trung tuyến: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>M</mi></math> là trung tuyến của tam giác <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></math> thì: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>M</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mfenced><mrow><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced></math>. - Quy tắc trọng tâm: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>G</mi></math> là trọng tâm tam giác <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></math> thì: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>G</mi><mi>A</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mrow><mi>G</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mrow><mi>G</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mn>0</mn><mo>→</mo></mover></math>. - Quy tắc hình hộp: cho hình hộp <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo><mi>D</mi><mo>'</mo></math> thì: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>A</mi><mo>'</mo></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow><mo>→</mo></mover></math>. 3. Sự đồng phẳng của các véctơ, điều kiện để ba véctơ đồng phẳng     Định nghĩa: ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.     Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng:     Định lí 1: cho ba véctơ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover></math>, trong đó véctơ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></math>  không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba véctơ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover></math> đồng phẳng là có các số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></math> sao cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mi>m</mi><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mi>n</mi><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></math>. Hơn nữa các số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></math> là duy nhất.    Định lí 2: nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover></math>  là ba véctơ không đồng phẳng thì với mỗi véctơ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>d</mi><mo>→</mo></mover></math>  ta tìm được các số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></math> sao cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>d</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mi>m</mi><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mi>n</mi><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mi>p</mi><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover></math>. Hơn nữa các số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>p</mi></math> là duy nhất.

Xem lời giải bài tập khác cùng bài

Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 85 SGK Toán Hình học 11)