Bài 5 (Trang 80 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Cho tam giác ABC, biết A(1; 3); B(– 1; – 1); C(5; – 3). Lập phương trình tổng quát của:

a) Ba đường thẳng AB, BC, AC.

b) Đường trung trực cạnh AB.

c) Đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường thẳng AB đi qua 2 điểm A và B là:

$\frac{x - 1}{-1 - 1} = \frac{y - 3}{-1 - 3} \iff \frac{x -1}{-2} = \frac{y - 3}{-4}\iff 2x - y +1 = 0$

Phương trình đường thẳng AC đi qua 2 điểm A và C là:

$\frac{x - 1}{5 - 1} = \frac{y - 3}{-3 - 3} \iff \frac{x -1}{4} = \frac{y - 3}{-6}\iff 3x - 2y - 9 = 0$

Phương trình đường thẳng BC đi qua 2 điểm B và C là:

$\frac{x + 1}{5 + 1} = \frac{y + 1}{-3 + 1} \iff \frac{x + 1}{6} = \frac{y + 1 }{-2}\iff x + 3y + 4 = 0$

b) Gọi d là đường trung trực của cạnh AB.

 Lấy N là trung điểm của AB $\Rightarrow N(0; 1)$

Do $d \perp AB\Rightarrow$ VTPT $\overrightarrow{n_d} = (1; 2)$

 Vậy phương trình đường thẳng d đi qua N có vecto pháp tuyến  $\overrightarrow{n_d} = (1; 2)$,là:

$1(x - 0) + 2(y - 1) = 0 \iff x + 2y- 2 = 0$

c) Do AH vuông góc với BC nên vecto pháp tuyến của AH là $\overrightarrow{n_{AH}} = (3; -1)$

Vậy phương trình đường cao AH đi qua điểm A có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{AH}} = (3; -1)$là:

$3(x - 1) - 1(y - 3) = 0 \iff 3 - y = 0$

Do M là trung điểm BC nên $M(2; -2)$. Vậy ta có: $\overrightarrow{AM} = (1; -5)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AM}} = (5; 1)$

Phương trình đường trung tuyến AM đi qua điểm A có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{AM}} = (5; 1)$là:

$5(x - 1) + 1(y - 3) = 0 \iff 5x + y - 8 = 0$