Bài 3 (Trang 91 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn có tâm O(– 3; 4) và bán kính R = 9;

b) Đường tròn có tâm I(5; – 2) và đi qua điểm M(4; – 1);

c) Đường tròn có tâm I(1; – 1) và có một tiếp tuyến là Δ: 5x – 12y – 1 = 0;

d) Đường tròn đường kính AB với A(3; – 4) và B(– 1; 6);

e) Đường tròn đi qua ba điểm A(1; 1); B(3; 1); C(0; 4).

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn có tâm O(– 3; 4) và bán kính R = 9

Phương trình đường tròn là: [x – (– 3)]² + (y – 4)² = 9² hay (x + 3)² + (y – 4)² = 81.

b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm M thì có bán kính là

$R = IM = \sqrt{{(4 - 5)}^2 + {\left[\right(-1) - (-2\left)\right]}^2} = \sqrt{2}.$

Phương trình đường tròn là: (x – 5)² + ( y + 2)² = 2.

c)  Khoảng cách từ tâm I của đường tròn đến tiếp tuyến ∆ chính bằng bán kính của đường tròn.

$\Rightarrow R = d (I, ∆) = \frac{\left|5.1 - 12.(-1) - 1\right|}{\sqrt{5^2 + {(-12)}^2}} = \frac{16}{13}$

Phương trình đường tròn là: ${(x - 1)}^2 + {(y + 1)}^2 = \frac{256}{169}$

d) Gọi I (a; b) là trung điểm AB. Vậy tọa độ điểm I là: I(1; 1)

Bán kính đường tròn là: $R - IA = \sqrt{{(3 - 1)}^2 + {(-4 - 1)}^2} = \sqrt{29}$

Phương trình đường tròn là: (x – 1)² + (y – 1)² = 29.

e) Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IB = IC ⇔ IA² = IB² = IC².

Vì IA² = IB², IB² = IC² nên$\left\{\begin{array}{l}{(1 - a)}^2 + {(1 - b)}^2 = {(3 - a)}^{2 }+ {(1 - b)}^2\\ {(3 - a)}^{2 }+ {(1 - b)}^2 = {(0 - a)}^{2 }+ {(4 - b)}^2\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}a = 2\\ b = 3\end{array}\right.\right.$

Vậy I (2; 3) và $R = IA = \sqrt{{(-1)}^2 +\hspace{0.17em}{(-2)}^2} = \sqrt{5}$

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: (x – 2)² + (y – 3)² = 5.