Luyện tập - Vận dụng 2 (Trang 89 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Tìm k sao cho phương trình: x² + y² + 2kx + 4y + 6k – 1 = 0 là phương trình đường tròn.

Hướng dẫn giải

Ta có: x² + y² + 2kx + 4y + 6k – 1 = 0

⇔ (x² + 2kx + k²) + (y² + 4y + 4) – k² + 6k – 1 – 4 = 0

⇔ (x + k)² + (y + 2)² = k² – 6k + 5

Do đó, phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi k² – 6k + 5 > 0.

Giải phương trình k² – 6k + 5 > 0.

Tam thức bậc hai k² – 6k + 5 có ∆' = (– 3)² – 1 . 5 = 4 > 0 nên tam thức có hai nghiệm phân biệt k₁ = 1, k₂ = 5. Do hệ số a > 0 nên tam thức cùng dấu với a khi $k \in (–\infty ; 1) \cup (5; +\infty )$. Vậy k² – 6k + 5 > 0 khi $k \in (–\infty ; 1) \cup (5; +\infty ).$

Luyện tập - Vận dụng 3 (Trang 89 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1; – 3).

Hướng dẫn giải

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IB = IC ⇔ IA² = IB² = IC².

Vì IA² = IB², IB² = IC² nên

$\left\{\begin{array}{l}{(1 - a)}^2 + {(2 - b)}^2 = {(5 - a)}^2 + {(2 - b)}^2\\ {(5 - a)}^2 + {(2 - b)}^2 = {(1 - a)}^2 + {(-3 - b)}^2\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}a = 3\\ b = -\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy $I (3; -\frac{1}{2})$ và $R = IA = \sqrt{{(-2)}^2 + {\left(\frac{5}{2}\right)}^2} = \frac{\sqrt{41}}{2}$

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: 
${(x - 3)}^2 +\hspace{0.17em}{(y +\hspace{0.17em}\frac{1}{2})}^2 = \frac{41}{4}$