Hoạt động 4 (Trang 90 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Cho điểm M₀(x₀; y₀) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R.

Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm M₀(x₀; y₀) thuộc đường tròn (Hình 44).

a) Chứng tỏ rằng $\overrightarrow{I{M}_0}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

b) Tính tọa độ của $\overrightarrow{I{M}_0}$

c) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải

a) Vì đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) có tâm I tại điểm M₀ nên IM₀ vuông góc với ∆ tại M₀ (tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm).

Do đó, vectơ $\overrightarrow{I{M}_0}$  có giá là đường thẳng IM₀ vuông góc với đường thẳng ∆.

Vậy vectơ $\overrightarrow{I{M}_0}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

b) Ta có: $\overrightarrow{I{M}_0} = (x_0 - a; y_0 - b)$

c) Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và nhận $\overrightarrow{I{M}_0}$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là(x₀ – a)(x – x₀) + (y₀ – b)(y – y₀) = 0.