a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

$1+\frac{1}{x};$                          $1+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}$;                          $1+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}$.

b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức:

$1+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}}}}}$

thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó.

Giải

a) 

• $1+\frac{1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$
• .$1+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}=1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}=1+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1+x}{1+x}=\frac{2x+1}{x+1}$
• $1+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}=1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{2x+1}{x+1}}}=1+\frac{x+1}{2x+1}=\frac{2x+1+x+1}{2x+1}=\frac{3x+2}{2x+1}$

b) Đối với những biểu thức có dạng đã cho có thể dự đoán như sau:

Qua các kết quả của các phần trong câu a) ta thấy kết quả tiếp theo sau là một phân thức mà tử bằng

tổng của tử và mẫu, còn mẫu là tử của kết quả vế trước đó.

Như vậy có thể dự đoán rằng nếu biểu thức có 4 gạch phân số thì kết quả là $\frac{5x+3}{3x+2}$, trong trường hợp

này có 5 gạch phân số, kết quả sẽ là $\frac{8x+5}{5x+3}$

Thật vậy: $1+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}}}=1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{3x+2}{2x+1}}}=1+\frac{2x+1}{3x+2}=\frac{3x+2+2x+1}{3x+2}=\frac{5x+3}{3x+2}$

do đó: $1+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}}}}}=1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{5x+3}{3x+2}}}=1+\frac{3x+2}{5x+3}=\frac{5x+3+3x+2}{5x+3}=\frac{8x+5}{5x+3}$.