Hướng dẫn Giải Bài 53 (Trang 58, SGK Toán 8, Tập 1)

a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac><mo>;</mo></math>                          <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math>;                          <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math>. b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></math> thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó. Giải a)  <ul> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>x</mi><mi>x</mi></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>x</mi></mfrac></math></li> <li>.<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>x</mi></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mi>x</mi><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math></li> </ul> b) Đối với những biểu thức có dạng đã cho có thể dự đoán như sau: Qua các kết quả của các phần trong câu a) ta thấy kết quả tiếp theo sau là một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu, còn mẫu là tử của kết quả vế trước đó. Như vậy có thể dự đoán rằng nếu biểu thức có 4 gạch phân số thì kết quả là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></math>, trong trường hợp này có 5 gạch phân số, kết quả sẽ là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>8</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac></math> Thật vậy: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> do đó: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>8</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac></math>.