Đề bài
Cho tam giác ABC có các cạnh AB=24cm, AC=28cm. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự' là hình chiếu của B và C trên AD.
a) Tính tỉ số $\frac{BM}{CN}$
b) Chứng minh rằng $\frac{AM}{AN}=\frac{DM}{DN}$

Lời giải chi tiết

a) AD là đường phân giác của ∆ABC (gt) 
$\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)
$\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{24}{28}=\frac{6}{7}$
Mà BM//CN (cùng vuông góc với AD).
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BMD~\mathrm{△}CND$ (Theo định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho)
$\Rightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{BD}{CD}$ (tính chất 2 tam giác đồng dạng)
vậy $\frac{BM}{CN}=\frac{6}{7}$
b) $\mathrm{△}ABM$ và $\mathrm{△}ACN$ có:
$\widehat{BAM}=\widehat{CAN}$ (AD là phân giác)
$\widehat{BMA}=\widehat{CNA}={90}^{\circ }$
$\Rightarrow \mathrm{△}ABM~\mathrm{△}ACN(\mathrm{g}-\mathrm{g})$
$\Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC}$ (1) (tính chất 2 tam giác đồng dạng)
Mà $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$ (2) (chứng minh câu a)
và $\frac{BD}{CD}=\frac{DM}{DN}\left(3\right)$ (do $\mathrm{\Delta }BMD~\mathrm{\Delta }CND$)
Từ (1), (2) và (3)$\Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{DM}{DN}$