Đề bài

Chứng minh rằng nếu tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đồng dạng với tam giác $ABC$ theo tỉ số $k$ thì tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng $k$.

Lời giải chi tiết

Gọi $AD,A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ lần lượt là đường phân giác của hai tam giác $ABC;A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$
Ta có: $\mathrm{\Delta }{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}~\mathrm{△}ABC$ theo tỉ số $k=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}$
$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\mathit{\hspace{1em}}\left(1\right);\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)
AD là phân giác góc $\widehat{BAC}$ (gt)
$\Rightarrow \widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}\mathit{\hspace{1em}}$ (2) (tính chất tia phân giác)
$A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là phân giác góc $\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (gt)
$\Rightarrow \widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\mathit{\hspace{1em}}$ (3) (tính chất tia phân giác)
Từ' (1),(2) và (3) suy ra: $\widehat{BAD}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$
Xét $\mathrm{\Delta }{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ và $\mathrm{△}ABD$ có:
+) $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$
+) $\widehat{BAD}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}~\mathrm{△}ABD(\mathrm{g}-\mathrm{g})$
$\Rightarrow \frac{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{AD}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=k$ ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)