Đề bài
Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh rằng OA.OD=OB.OC.
b) Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K.
Chứng minh rằng $\frac{OH}{OK}=\frac{AB}{CD}$

Lời giải chi tiết

a) Vì $A B //CD (giả thiết)
Áp dụng định lí:Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{\Delta }AOB~\mathrm{\Delta }COD \\ \Rightarrow \frac{{\displaystyle OA}}{{\displaystyle OC}}=\frac{{\displaystyle OB}}{{\displaystyle OD}} (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \\ \Rightarrow OA.OD=OC.OB \end{gathered}$$
b) Theo câu a) ta có $\mathrm{\Delta }AOB~\mathrm{\Delta }COD$ nên $\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}$
Xét $\mathrm{△}AOH$ và $\mathrm{△}COK$ có:
$\widehat{AHO}=\widehat{CKO}={90}^{\circ }$
$\widehat{HOA}=\widehat{K\mathrm{OC}}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AOH~\mathrm{\Delta }COK(g-g)$
$\Rightarrow \frac{OH}{OK}=\frac{OA}{OC}$ (2) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{OH}{OK}=\frac{AB}{CD}$