Đề bài
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
a) So sánh các độ dài EK và CD, KF và AB.
b) Chứng minh rằng $F\le \frac{AB+CD}{2}.$

Lời giải chi tiết 

a) Xét $\Delta ACD$ có $E,K$ theo thứ tự là trung điểm của $AD,AC$ (giả thiết)

$\Rightarrow EK$ là đường trung bình của $\Delta ACD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow EK=\frac{CD}{2}$(tính chất đường trung bình của tam giác)

- Xét $\mathrm{△}ABC$ có K, F theo thứ tự là trung điểm của AC, BC (giả thiết)
$\Rightarrow FK$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow KF=\frac{AB}{2}$ (tính chất đường trung bình của tam giác).
b) TH1: Ba điểm E, K, F không thẳng hàng
Xét $\mathrm{\Delta }EFK$ có: EF<EK+KF (bất đẳng thức tam giác)
Nên $F<EK+KF=\frac{CD}{2}+\frac{AB}{2}=\frac{AB+CD}{2}$
Hay $F<\frac{AB+CD}{2}\left(1\right)$
TH2: Ba điểm E, K, F thẳng hàng
Khi đó: $F=EK+KF=\frac{CD}{2}+\frac{AB}{2}=\frac{AB+CD}{2}$
Hay $F=\frac{AB+CD}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $F\le \frac{AB+CD}{2}.$