Đề bài

Hình thang $ABCD$ có đáy $AB,CD.$ Gọi $E,F,K$ theo thứ tự là trung điểm của $AD,BC,BD$ Chứng minh ba điểm $E,K,F$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

- Xét $\mathrm{△}AB\mathrm{D}$ có: E, K lần lượt là trung điểm của AD, BD (giả thiết)
$\Rightarrow EK$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }AB\mathrm{D}$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow EK//AB$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
- Xét $\mathrm{△}DBC$ có: F, K lần lượt là trung điểm của BC, BD (giả thiết)
$\Rightarrow FK$là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }DBC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow FK//DC$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
Mặt khác, AB//DC (vì ABCD là hình thang) nên suy ra FK//AB (2)
Từ (1) và (2) ta có qua điểm K không thuộc AB có hai đường thẳng EK và FK cùng //AB nên theo tiên đề ơ-clit thì ba điểm E, K, F thẳng hàng.