Đề bài

Cho hình thang $AB\mathrm{CD}$ ($AB//CD$), $E$ là trung điểm của $AD,$ $F$ là trung điểm của $BC.$ Đường thẳng $EF$cắt $BD$ ở $I$ cắt $AC$ ở $K.$

a) Chứng minh rằng $AK=KC,BI=ID.$

b) Cho $AB=6cm,CD=10cm.$ Tính các độ dài $EI,KF,IK.$

$Lời\; giải\; chi\; tiết$

a) Hình thang ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC (giả thiết)
$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của hình thang ABCD (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của hình thang )
$\Rightarrow EF//AB//CD$ (tính chất đường trung bình của hình thang)
$\Rightarrow FK//AB,EI//AB$
Xét $\mathrm{△}ABC$ có: F là trung điểm của BC (giả thiết) và FK//AB (chứng minh trên)
$\Rightarrow AK=KC$ (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba )

Xét $\mathrm{△}ABD$ có: E là trung điểm của AD (giả thiết) và EI//AB (chứng minh trên)
$\Rightarrow DI=IB$ (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba ).
b) vì EF là đường trung bình của hình thang ABCD (chứng minh trên)
nên $F=\frac{AB+CD}{2}=\frac{6+10}{2}=8\mathrm{cm}$ (tính chất đường trung bình của hình thang)

Xét $\mathrm{△}ABD$ có: AE=ED (giả thiết) và DI=IB (chứng minh trên)
$\Rightarrow EI$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ABD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow EI=\frac{1}{2}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 6=3\left(\mathrm{cm}\right)$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét $\mathrm{△}ABC$ có: BF=FC (giả thiết) và AK=KC (chứng minh trên)
$\Rightarrow KF$ là đường trung bình của $\mathrm{△}ABC$ (dấu hiệu nhận
biết đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow KF=\frac{1}{2}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 6=3\left(\mathrm{cm}\right)$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
Lại có EF=EI+IK+KF
nên $K=EF-(EI+KF)=8-(3+3)=2\left(\mathrm{cm}\right).$