Bài 9 (Trang 111 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh AH ⊥ BC.

b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm M; trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng $∆$ABM = $∆$ACN.

c) Gọi I là điểm trên AM, K là điểm trên AN sao cho BI $\perp$ AM; CK ⊥ AN. Chứng minh rằng tam giác AIK cân tại A, từ đó suy ra IK // MN.

Hướng dẫn giải

a) Do H là trung điểm của BC nên BH = CH.

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

Xét $∆$ABH và $∆$ACH có:

AB = AC (chứng minh trên).

BH chung.

BH = CH (chứng minh trên).

$\Rightarrow$ ∆ABH = ∆ACH (c - c - c).

$\Rightarrow \widehat{AHB} = \widehat{AHC}$(2 góc tương ứng)

mà $\widehat{AHB} + \widehat{AHC} = 180° \Rightarrow \widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90°$

$\Rightarrow AH \perp BC.$

b) Ta có: 

$\widehat{ABM}$ là góc ngoài tại đỉnh B của $∆ABC$ $\Rightarrow \widehat{ABM} = \widehat{BAC} + \widehat{ACB}$

$\widehat{ACN}$ là góc ngoài tại đỉnh c của $∆ABC \Rightarrow \widehat{ACN} = \widehat{BAC} + \widehat{ABC}$

Mà $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} nên \widehat{ABM } = \widehat{ACN}$

Xét $∆ABC và ∆ACN, có:$ 

AB = AC 

$\widehat{ABM } = \widehat{ACN}$ (cmt)

BM = CN (gt)

$\Rightarrow ∆ABC và ∆ACN (c - g - c)$

c) Do $∆ABM = ∆ACN (c -g -c) \Rightarrow \widehat{BAM} = \widehat{CAN}$ (2 góc tương ứng)

Xét $∆BAI$ vuông tại I và $∆CAK$ vuông tại A:

$\widehat{BAI} = \widehat{CAK}$ (cmt)

AB = AC (cmt)

$\Rightarrow ∆BAI = ∆CAN$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow$ AI = AK (2 cạnh tương ứng).

Ta có:

∆AIK: AI = AK $\Rightarrow$ ∆AIK cân tại A.

∆ABM = ∆ACN: AM = AN (2 cạnh tương ứng).

∆ABM: AM = AN$\Rightarrow$ ∆AMN cân tại A.

Xét $∆AMN cân tại A: \widehat{AMN} + \widehat{ANM} + \widehat{MAN} = 180°$

$\Rightarrow 2\widehat{AMN} + \widehat{MAN} = 180° \Rightarrow \widehat{AMN} = \frac{180° - \widehat{MAN}}{2} \left(1\right)$

Xét ∆AIK cân tại A: $\widehat{AIK} + \widehat{AKI} + \widehat{IAK} = 180°$

$\Rightarrow 2\widehat{AIK} + \widehat{IAK} = 180° \Rightarrow \widehat{AIK} = \frac{180° - \widehat{IAK}}{2} \left(2\right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{AIK} = \widehat{AMN}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IK // MN (đpcm)