Bài 10 (Trang 111 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BD = BA và H là trung điểm của AD. Tia BH cắt AC tại E. Tia DE cắt tia BA tại M. Chứng minh rằng:

a) ∆ABH = ∆DBH.

b) Tam giác AED cân.

c) EM > ED.

d) Giả sử $\widehat{ABC} = 60°$.Chứng minh rằng tam giác BCM là tam giác đều và CE = 2EA.

Hướng dẫn giải

a) Có: H là trung điểm của AD $\Rightarrow$ AH = DH.

Xét ∆ABH và ∆DBH có:

AB = DB (theo giả thiết).

BH chung.

AH = DH (chứng minh trên).

Suy ra ∆ABH = ∆DBH (c - c - c).

b) Do ∆ABH = ∆DBH (c - c - c) 

$\Rightarrow \widehat{ABH} = \widehat{DBH}$ (2 góc tương ứng)

Xét ∆ABE và ∆DBE có:

AB = DB (theo giả thiết).

$\widehat{ABE} = \widehat{DBE}$ (cmt)

BE chung.

$\Rightarrow$ ∆ABE = ∆DBE (c - g - c).

$\Rightarrow$ AE = DE (2 cạnh tương ứng).

Vì AE = DE nên ∆AED cân tại E.

c) Xét ∆AME vuông tại A:

EM là cạnh huyền nên EM là cạnh lớn nhất trong tam giác

$\Rightarrow$ EM > EA mà EA = ED $\Rightarrow$ EM > ED.

d) Có: ∆AME = ∆DBE (c - g - c) $\Rightarrow$ $\widehat{BAE} = \widehat{BDE} = 90°$.

$\Rightarrow$ ED ⊥ BC hay MD ⊥ BC.

Xét ∆BCM: CA ⊥ BM, MD ⊥ BC.

Mà CA $\cap$ MD = E $\Rightarrow$ E là trực tâm của .

$\Rightarrow$ BE ⊥ MC.

Ta có: $\widehat{ABE} = \widehat{DBE} \Rightarrow BE là tia phân giác của \widehat{MBC}$

∆BCM: BE vừa là đường cao, vừa là tia phân giác 

$\Rightarrow$ ∆BCM cân tại B.

mà $\widehat{MBC} = 60°$(gt)  

$\Rightarrow$∆BCM đều.

Khi đó E vừa là trực tâm, vừa là trọng tâm của ∆BCM.

Do đó CE = 2EA.