Bài 6 (Trang 110 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Cho hai đa thức A = 6x³ – 4x² – 12x – 7 và B = 2x² – 7.

a) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do trong mỗi đa thức đã cho.

b) Tính giá trị của đa thức A + B tại x = –2.

c) Chứng minh rằng x = 0, x = –1 và x = 2 là ba nghiệm của đa thức A – B.

d) Thực hiện phép nhân A . B bằng hai cách.

e) Tìm đa thức R có bậc nhỏ hơn 2 sao cho hiệu A - R chia hết cho B.

Hướng dẫn giải

a)

+) Xét đa thức A = 6x³ – 4x² – 12x – 7

Đa thức A có hạng tử có bậc cao nhất là 6x³ nên hệ số cao nhất là 6.

Hạng tử có bậc bằng 0 trong đa thức A là –7 nên hệ số tự do là –7.

+) Xét đa thức B = 2x² – 7

Đa thức B có hạng tử có bậc cao nhất là 2x² nên hệ số cao nhất là 2.

Hạng tử có bậc bằng 0 trong đa thức B là –7 nên hệ số tự do là –7.

b) A + B = 6x³ - 4x² - 12x - 7 + 2x² - 7

A + B = 6x³ + (-4x² + 2x²) - 12x + (-7 - 7)

A + B = 6x³ - 2x² - 12x - 14

Thay x = -2 vào đa thức A + B ta được:

A + B = 6 . (-2)³ - 2 . (-2)² - 12 . (-2) - 14

A + B = 6 . (-8) - 2.4 - (-24) - 14

A + B = -48 - 8 + 24 - 14

A + B = -46

Vậy A + B = -46 tại x = -2.

c) A - B = (6x³ - 4x² - 12x - 7) - (2x² - 7)

A - B = 6x³ - 4x² - 12x - 7 - 2x² + 7

A - B = 6x³ + (-4x² - 2x²) - 12x + (-7 + 7)

A - B = 6x³ - 6x² - 12x

Tại x = 0 $\Rightarrow$ A - B = 6 . 0³ - 6 . 0² - 12 . 0 = 0.

Tại x = -1 $\Rightarrow$ A - B = 6 . (-1)³ - 6 . (-1)² - 12 . (-1) = -6 - 6 + 12 = 0.

Tại x = 2 $\Rightarrow$ A - B = 6.2³ - 6.2² - 12.2 = 6.8 - 6.4 - 24 = 0.

Vậy x = 0, x = -1 và x = 2 là ba nghiệm của đa thức A - B.

d) Đặt phép tính nhân A x , ta có:

e) Đặt phép chia A cho B ta được:

Đa thức A chia cho đa thức B dư 9x - 21.

Do đó để A - R chia hết cho B và bậc của đơn thức R nhỏ hơn 2 thì đa thức R bằng 9x - 21.