Bài 8 (Trang 111 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho DM = DC.

a) Chứng minh rằng . Từ đó suy ra AM = BC và AM // BC.

b) Gọi E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng AN // BC.

c) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN.

Hướng dẫn giải

a) Do D là trung điểm của AB nên AD = BD.

Xét $∆ADM và ∆BDC, có:$

AD = BD 

$\widehat{ADM} = \widehat{BDC}$(2 góc đối đỉnh)

DM = DC (gt)

$\Rightarrow ∆ADM = ∆BDC ( c - g - c)$

$\Rightarrow AM = BC$(2 cạnh tương ứng)

$\widehat{DAM} = \widehat{DBC}$ (2 góc tương ứng)

b) Do E là trung điểm của AC nên AE = CE.

Xét $∆AEN và ∆CEB$, có:

AE = CE 

$\widehat{AEN} = \widehat{CEB}$ (2 góc đối đỉnh)

EN = EB (gt)

$\Rightarrow ∆AEN và ∆CEB ( c - g - c)$

$\Rightarrow$ AN = BC (2 cạnh tương ứng)

$\widehat{EAN} = \widehat{ECB}$ (2 góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AN // BC.

c) Ta có AM // BC, AN // BC mà AM cắt AN tại A nên M, A, N thẳng hàng và A nằm giữa M và N.

Lại có AM = AN nên A là trung điểm của MN.

Vậy ta có điều phải chứng minh.