Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin²α + cos²α = 1;

$$\begin{gathered} \mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathbf{tan}}^{\mathbf{2}}\mathit{\alpha }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{cos}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\alpha }}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathit{\alpha }\mathbf{\ne }\mathbf{90}\mathbf{°}\mathbf{)}\mathbf{;} \\ \mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{+}\mathit{c}\mathit{o}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}\mathit{\alpha }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{sin}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\alpha }}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{<}\mathit{\alpha }\mathbf{<}\mathbf{180}\mathbf{°}\mathbf{)}\mathbf{.} \end{gathered}$$

Lời giải:

a) 

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Từ M kẻ MH ⊥ Ox và MK ⊥ Oy. Khi đó:

cosα = OH, sinα = OK

Xét tam giác OHK vuông tại O, ta có:

OH² + OK² = HK² (Py – ta – go)

Mà HK = OM = 1

⇒ OH² + OK² = 1

Hay cos²α + sin²α = 1(đpcm).

b) Ta có:

$$\begin{gathered} 1+{\tan }^2\alpha =1+{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2=1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha } \\ =\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha } (\alpha \ne 90°); \end{gathered}$$

c) Ta có:

$$\begin{gathered} 1+co{t}^2\alpha =1+{\left(\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\right)}^2=1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha } \\ =\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha } (0<\alpha <180°); \end{gathered}$$