Hoạt động 2 (Trang 94 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, ở đó F₁F₂ = 2c (với a > c > 0).

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của F₁F­₂, trục Oy là đường trung trực của F₁F₂ và F₂ nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, F₁(– c; 0) và F₂(c; 0) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:

a) A₁(– a; 0) và A_2­(a; 0) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

b) B₁(0; – b) và B₂(0; b), ở đó $b = \sqrt{a^2 - c^2}$, đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $A_1{F}_1 = \sqrt{{\left[\right(-c) - (-a\left)\right]}^2 + (0 - 0{)}^2} = \left|-c +\hspace{0.17em}a\right| = a -\hspace{0.17em}c ( do a > c > 0)$

$A_2{F}_2 = \sqrt{{[c - (-a\left)\right]}^2 + (0 - 0{)}^2} = \left|a +\hspace{0.17em}c\right| = a +\hspace{0.17em}c$

Do đó: A₁F₁ + A₂F₂ = a – c + a + c = 2a.

Vậy điểm A₁(– a; 0) thuộc elip (E).

Mà A₁(– a; 0) thuộc trục Ox nên A₁(– a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

Tương tự, ta chứng minh được A₂(a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

b) Vì $b = \sqrt{a^2 - c^2} \Rightarrow b^2 = a^2 - c^2 \iff a^2 = b^2 + c^2$

Ta có: $B_2{F}_1 = \sqrt{{(-c - 0)}^2 +\hspace{0.17em}{(0 - b)}^2} = \sqrt{c^2 + b^2} = \sqrt{a^2} = a$ (do a > 0).

$B_2{F}_2 = \sqrt{{(c - 0)}^2 +\hspace{0.17em}{(0 - b)}^2} = \sqrt{c^2 + b^2} = \sqrt{a^2} = a$ (do a > 0).

Do đó B₂F₁ = B₂F₂ = a nên B₂F­₁ + B₂F₂ = a + a = 2a. Do đó, B₂(0; b) thuộc elip (E).

Mà B₂(0; b) thuộc trung Oy nên B₂(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Tương tự, ta chứng minh được B₁(0; – b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.