Bài 4 (Trang 54, SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)

Tìm m để phương trình 2x² + (m + 1)x + m – 8 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Phương trình 2x² + (m + 1)x + m – 8 = 0 (1) là phương trình bậc hai một ẩn với ẩn x và m là tham số.

Ta có: a = 2, b = m + 1, c = m – 8 và 

∆ = (m+1)² – 4.2.(m–8) = m² + 2m + 1 -8 m + 64 = m² – 6m + 65.

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 

⇔ m² – 6m + 65 ≥ 0, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn với ẩn m.

Tam thức bậc hai m² – 6m + 65 có ∆_m = (– 6)² – 4.1.65 = – 224 < 0 và hệ số a_m = 1 > 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tam thức  m² – 6m + 65 mang dấu dương với mọi  . 

Do đó m² – 6m + 65 > 0 với mọi số thực m. 

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị thực của m.