Bài 5 (Trang 54, SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)

Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng. 

b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất? 

Hướng dẫn giải:

a) Giả sử hàm số có dạng: h = at² + bt + c, trong đó h là độ cao, t là thời gian, a, b, c là các hằng số cần tìm với a ≠ 0.

Quỹ đạo của quả bóng là một parabol đi qua điểm A(0; 0,2) nên thay t = 0 và h = 0,2 vào hàm số ta được: c = 0,2. 

Khi đó: h = at² + bt + 0,2

Lại có quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và 6 m sau 2 giây, do đó quỹ đạo của bóng là parabol đi qua các điểm có tọa độ

(1; 8,5) và (2; 6). 

Ta có hệ:$\left\{\begin{array}{l}a + b + 0,2 = 8,5\\ 2^{2}a + 2b + 0,2= 6\end{array}\right.$

Giải hệ trên ta được: a = – 5,4, b = 13,7 . 

Vậy hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là: h = – 5,4t² + 13,7t + 0,2. 

b) Bóng chạm đất nếu khi độ cao h = 0, vậy bóng chưa chạm đất khi độ cao h > 0. 

Tam thức bậc hai – 5,4t² + 13,7t + 0,2 có hai nghiệm $t_1 = \frac{137}{108} - \frac{\sqrt{19201}}{108}, t_2 = \frac{137}{108} + \frac{\sqrt{19201}}{108}$

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:      – 5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0

$\iff \frac{137}{108} - \frac{\sqrt{19201}}{108} < t < \frac{137}{108} + \frac{\sqrt{19201}}{108}$

Lại có: thời gian t>0

Do đó: $0 < t < \frac{137}{108} + \frac{\sqrt{19201}}{108}$

Mà $\frac{137}{108} + \frac{\sqrt{19201}}{108} \approx 2,55$

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 2,55 giây thì bóng vẫn chưa chạm đất.