a) Ta có: $\widehat{AOC}$ = $\widehat{BDO}$ (cùng phụ $\widehat{BOD}$)

Các tam giác vuông AOC và BDO có một góc nhọn bằng nhau: $\widehat{AOC } = \widehat{BDO}$ nên chúng đồng dạng, ta có: $\frac{AC}{AO} = \frac{OB}{BD}$ hay $\frac{AC}{a} = \frac{b}{BD}$, suy ra:

              AC . BD = ab (không đổi)

b) Khi $\widehat{AOC}$ = ${60}^o$ thì $∆$AOC là nửa tam giác đều, cạnh OC, chiều cao AC.

Vậy: OC = 2AO = 2a ; AC = $\frac{OC\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$

Thay giá trị này vào (*) ta có BD = $\frac{b\sqrt{3}}{3}$

nên:             $S_{ABCD}$ = $\frac{AC + BD}{2}$. AB

                                = $\frac{a\sqrt{3} + {\displaystyle \frac{b\sqrt{3}}{3}}}{2}$ (a + b) = $\frac{3a\sqrt{3} + b\sqrt{3}}{6}$ (a + b)

                                = $\frac{\sqrt{3}}{6}$ (3a + b)(a + b) = $\frac{\sqrt{3}}{6}$ (3$a^2$ + $b^2$ + 4ab)

c) Khi quay hình vẽ xung quanh cạnh AB: $∆$AOC tạo nên hình nón, bán kính đáy là AC, chiều cao AO; $∆$BOD tạo nên hình nón, bán kính đáy BD, chiều cao OB.

Thể tích hình nón bán kính đáy AC là:

                     V = $\frac{1}{3}{\mathrm{\pi AC}}^2$.AO

Thể tích hình nón bán kính đáy BD là:

                    $V_2$ = $\frac{1}{3}{\mathrm{\pi BD}}^2$.OB

Tỉ số thể tích là:

                    $\frac{V_1}{V_2} = \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}{\mathrm{\pi AC}}^2.\mathrm{AO}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}{\mathrm{\pi BD}}^2.\mathrm{OB}}$ = $\frac{A{C}^2.AO}{B{D}^2.OB}$ = $\frac{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2.a}{{\left({\displaystyle \frac{b\sqrt{3}}{3}}\right)}^2.b}$ = $\frac{3a^3}{{\displaystyle \frac{b^3}{3}}}$ = 9$\frac{a^3}{b^3}$