Hướng dẫn giải Bài 41 (Trang 129 SGK Toán 9 Hình học, Tập 2)

a) Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>B</mi><mi>D</mi><mi>O</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> (cùng phụ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>B</mi><mi>O</mi><mi>D</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math>) Các tam giác vuông AOC và BDO có một góc nhọn bằng nhau: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>C</mi><mo> </mo></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>B</mi><mi>D</mi><mi>O</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> nên chúng đồng dạng, ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>O</mi></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>D</mi></mrow></mfrac></math> hay <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mi>a</mi></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>B</mi><mi>D</mi></mrow></mfrac></math>, suy ra:               AC . BD = ab (không đổi) b) Khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>60</mn><mi>o</mi></msup></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>AOC là nửa tam giác đều, cạnh OC, chiều cao AC. Vậy: OC = 2AO = 2a ; AC = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>C</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math> Thay giá trị này vào (*) ta có BD = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>b</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></math> nên:             <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow></msub></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mi>D</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo> </mo></math>. AB                                 = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mrow><mi>b</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></mstyle></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> (a + b) = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>b</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>6</mn></mfrac></math> (a + b)                                 = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>6</mn></mfrac></math> (3a + b)(a + b) = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>6</mn></mfrac></math> (3<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math> + 4ab) c) Khi quay hình vẽ xung quanh cạnh AB: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>AOC tạo nên hình nón, bán kính đáy là AC, chiều cao AO; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>BOD tạo nên hình nón, bán kính đáy BD, chiều cao OB. Thể tích hình nón bán kính đáy AC là:                      V = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><msup><mi>πAC</mi><mn>2</mn></msup></math>.AO Thể tích hình nón bán kính đáy BD là:                     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><msup><mi>πBD</mi><mn>2</mn></msup></math>.OB Tỉ số thể tích là:                     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle><msup><mi>πAC</mi><mn>2</mn></msup><mo>.</mo><mi>AO</mi></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle><msup><mi>πBD</mi><mn>2</mn></msup><mo>.</mo><mi>OB</mi></mrow></mfrac></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>A</mi><msup><mi>C</mi><mn>2</mn></msup><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>B</mi><msup><mi>D</mi><mn>2</mn></msup><mo>.</mo><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>.</mo><mi>a</mi></mrow><mrow><msup><mfenced><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mrow><mi>b</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></mstyle></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>.</mo><mi>b</mi></mrow></mfrac></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>3</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mstyle displaystyle="true"><mfrac><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup><mn>3</mn></mfrac></mstyle></mfrac></math> = 9<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup></mfrac></math>