Hướng dẫn giải Bài 64 (Trang 100 SGK Toán Hình học 8, Tập 1)

Đề bài

Cho hình bình hành $A B C D$ . Các tia phân giác của các góc $A, B, C, D$ cắt nhau như trên hình $91.$ Chứng minh rằng $E F G H$ là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết ABCD là hình bình hành nên AD//BC, AB//CD
Vì $A D / / B C \Rightarrow \hat{D A B} + \hat{A B C} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)
Vì AG là tia phân giác $\hat{D A B}$ (giả thiết)
$\Rightarrow \hat{B A G} = \hat{D A H} = \frac{1}{2} \hat{D A B}$ (tính chất tia phân giác)
Vì BG là tia phân giác $\hat{A B C}$ (giả thiết)
$\Rightarrow \hat{A B G} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$
Do đó: $\hat{B A G} + \hat{A B G} = \frac{1}{2} (\hat{D A B} + \hat{A B C}) = \frac{1}{2} \cdot 180^{0} = 90^{0}$
Xét $△ A G B$ có:
$\hat{B A G} + \hat{A B G} = 90^{0}$
Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác AGB ta có:
$\hat{B A G} + \hat{A B G} + \hat{A G B} = 180^{0} \Rightarrow \hat{A G B} = 180^{0} - (\hat{B A G} + \hat{A B G}) = 180^{0} - 90^{0} = 90^{0} ({}_{*})$

+ Vì $A B / / D C \Rightarrow \hat{D A B} + \hat{A D C} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)
+ Vì DE là tia phân giác $\hat{A D C}$ (giả thiết)
$\Rightarrow \hat{A D H} = \hat{E D C} = \frac{1}{2} \hat{A D C}$ (tính chất tia phân giác)
Do đó: $\hat{D A H} + \hat{A D H} = \frac{1}{2} (\hat{D A B} + \hat{A D C})$ $= \frac{1}{2} \cdot 180^{0} = 90^{0}$
Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác ADH ta có:
$\hat{D A H} + \hat{A D H} + \hat{A H D} = 180^{0}$

$\Rightarrow \hat{A H D} = 180^{\circ} - (\hat{D A H} + \hat{A D H}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$
Suy ra $A H ⟂ H D$ nên $\hat{E H G} = 90^{\circ}$ (**)
Chứng minh tương tự:

Ta có: $\hat{D C B} + \hat{A D C} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)
Mà $\hat{E C D} = \frac{1}{2} \hat{D C B}$ (do CE là phân giác góc DCB)
Nên $\hat{E D C} + \hat{E C D} = \frac{1}{2} (\hat{A D C} + \hat{D C B}) = \frac{1}{2} \cdot 180^{0} = 90^{0}$
Lại có:
$\hat{E D C} + \hat{E C D} + \hat{D E C} = 180^{0}$ (tổng ba góc trong tam giác DEC)
$\Rightarrow \hat{D E C} = 180^{0} - (\hat{E D C} + \hat{E C D}) = 180^{0} - 90^{0} = 90^{0}$
Hay $\hat{H E F} = 90^{0} (* * *)$
Từ $({}_{*}), ({}_{* *})$ và $(* * *)$ ta thấy tứ giác EFGH có ba góc vuông nên
là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)