Đề bài

Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi $E,F,G,H$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$. Tứ giác $EFGH$là hình gì ? Vì sao ?

Lời giải chi tiết

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC (giả thiết)
$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow EF//AC$ và $EF=\frac{AC}{2}$ (1) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Do G, H lần lượt là trung điểm của CD, DA (giả thiết)
$\Rightarrow HG$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ADC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow HG//AC$ và $HG=\frac{AC}{2}$ (2) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow EF//HG$ và $EF=HG(=\frac{AC}{2})$
$\Rightarrow EFGH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Vi E, H lần lượt là trung điểm của AB , AD (giả thiết)
$\Rightarrow EH$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ABD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow EH//BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
Ta có: $EF//AC$ và EH//BD mà $AC⟂BD$ nên $EF⟂EH$

Hay $\widehat{FEH}={90}^{\circ }$

Hình bình hành EFGH có $\widehat{E}={90}^0$ nên là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).