Đề bài

Đố. Một đội công nhân đang trồng cây trên đoạn đường $AB$ thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn (h.$92$). Đội đã dựng các điểm $C,D,E$ như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn thẳng $E$vuông góc với $DE$. Vì sao $A$ và $EF$ cùng nằm trên một đường thẳng ?

Lời giải chi tiết

Tứ giác $BCDE$ có:

$BC//DE$ (vì cùng vuông góc với $C$)

$BC=DE$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ Tứ giác BCDE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình
bình hành)
Mà $\widehat{BCD}={90}^0$ (giả thiết)
$\Rightarrow$ Hình bình hành BCDE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết
hình chữ nhật)
$\Rightarrow \widehat{CBE}=\widehat{BED}={90}^0$
Mặt khác: $\widehat{CBA}=\widehat{FED}={90}^0$ (giả thiết)
Ta có: $\widehat{CBA}+\widehat{CBE}={90}^0+{90}^0={180}^0$
$\Rightarrow A,B,E$ thẳng hàng (1)
$\widehat{FED}+\widehat{BED}={90}^0+{90}^0={180}^0$
$\Rightarrow B,E,F$ thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AB vàEF$ cùng nằm trên một đường thẳng.
Cách khác:
Tứ giác BCDE có:
BC//DE (vì cùng vuông góc với CD)
BC=DE (giả thiết)
$\Rightarrow$ Tứ giác BCDE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Suy ra $BE//CD({}^{*})$ (tính chất)
Lại có $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}={90}^0$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB//CD(* *)

$\widehat{DEF}=\widehat{CDE}={90}^0$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên EF//CD(* * *)
Từ' $({}^{*}),({}^{**}),({}^{**})$ và theo tiên đề ơclit ta suy ra A, B, E, F thẳng hàng
Hay AB và EF cùng nằm trên một đường thẳng.