Đề bài

Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh là $a.$

Lời giải chi tiết

Gọi h là chiều cao của tam giác đều cạnh a
Xét tam giác ABC đều cạnh a, chiều cao AH=h. Ta tính diện tích tam giác ABC.
Vì tam giác ABC đều cạnh a có AH vừa là đường cao đồng thời là trung tuyến ứng với cạnh BC (tính chất tam giác đều).
Do đó H là trung điểm của BC.
Hay $BH=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$
Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABH ta có:
$A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2$
$h^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$
$\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy diện tích tam giác ABC là:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$