Đề bài

Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng một cạnh của một tam giác cho trước và có diện tích bằng diện tích của tam giác đó. Từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết

Cho tam giác $ABC$ với đường cao $AH$

Gọi $M,N,I$ là trung điểm của $AB,AC,AH$

Lấy $E$ đối xứng với $I$ qua $M,D$ đối xứng với $I$ qua $N.$

$\Rightarrow$ Hình chữ nhật $BEDC$ là hình cần dựng.

Thật vậy: 

Vì $E$ đối xứng với $I$ qua $M$ nên $M$ là trung điểm của $EI$

Do đó, $EM=MI$

Xét hai tam giác $\Delta EBM$ và $\Delta IAM$ có:

+) MA=MB (do M là trung điểm của AB)
+) $\widehat{BME}=\widehat{AMI}$ (đối đỉnh)
+) EM=MI (chứng minh trên)
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }EBM=\mathrm{\Delta }IAM(\mathrm{c}-\mathrm{g}-\mathrm{c})$
$\Rightarrow S_{IAM}=S_{EBM}$
Vì D đối xứng với I qua N nên N là trung điểm của DI
Do đó, NI=ND
Xét hai tam giác $\mathrm{\Delta }IAN$ và $\mathrm{\Delta }DCN$ có:
+) IN=ND (chứng minh trên)
+) $\widehat{ANI}=\widehat{DNC}$ (đối đỉnh)
+) AN=NC (do $\mathrm{N}$ là trung điểm của $\mathrm{AC}$)
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }IAN=\mathrm{\Delta }DCN$ (c-g-c)
$\Rightarrow S_{DCN}=S_{IAN}$
Ta có:
$S_{BEM}+S_{BMNC}+S_{NDC}=S_{AMI}+S_{BMNC}+S_{AIN}$
$\Rightarrow S_{ABC}=S_{EB\mathrm{D}C}=BE.BC=\frac{1}{2}AH.BC$ (vì $BE=IH=\frac{AH}{2})$

Ta đã tìm được công thức tính diện tích tam giác bằng một phương pháp khác.
Chú ý: Theo cách dựng trên ta có BEDC là hình chữ nhật vì:
+) $\mathrm{MN}$ là đường trung bình của tam giác $\mathrm{ABC}$ nên MN//BC hay ED//BC
+) Vi $\mathrm{△}EBM=\mathrm{△}IAM$ nên $\widehat{EBM}=\widehat{MAI}$ mà hai góc này ở
vị trí so le trong nên EB//AI hay EB//AH
+) Vi $\mathrm{△}IAN=\mathrm{△}DCN$ nên $\widehat{DCN}=\widehat{NAI}$ mà hai góc này ở
vị trí so le trong nên DC//AI
Do đó EB//DC và ED//BC nên BEDC là hình bình hành
Mà $AH⟂BC,EB//AH$ nên $EB⟂BC$, suy ra BEDC là hình chữ nhật.