Đề bài
Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra một số vị trí của điểm M nằm trong tam giác đó sao cho:
$S_{AMB}+S_{BMC}=S_{MAC}$
Lời giải chi tiết

Kẻ đường cao BH, MK.
Theo giả thiết, M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho:
$S_{AMB}+S_{BMC}=S_{MAC}$ (1)
Ta lại có: $S_{AMB}+S_{BMC}+S_{MAC}=S_{ABC}$
Thay (1) vào (2) ta được: $S_{MAC}+S_{MAC}=S_{ABC}$
$\Rightarrow 2.S_{MAC}=S_{ABC}$
$\Rightarrow S_{MAC}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}$
$\Rightarrow \frac{1}{2}MK.AC=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}BH.AC)$
$\Rightarrow MK=\frac{1}{2}BH$
Do đó, M nằm trên đường thẳng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B sao cho khoảng cách từ M đến AC bằng $\frac{1}{2}$ đường cao BH.
Vậy điểm M nằm trong tam giác ABC và nằm trên đường trung bình ứng với cạnh AC của $\mathrm{△}ABC$