Đề bài

Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD=AE.
a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.
b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng $\widehat{A}={50}^{\circ }.$

Lời giải chi tiết

a) Ta có AD=AE (giả thiết) nên $\mathrm{\Delta }ADE$ cân (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{E_1}$ (tính chất tam giác cân)
Xét $\mathrm{△}ADE$ có: $\widehat{D_1}+\widehat{E_1}+\widehat{A}={180}^0$ (định lý tổng ba góc trong tam giác)
$$\begin{gathered} \Rightarrow 2\widehat{D_1}+\widehat{A}={180}^0 \\ \Rightarrow \widehat{D_1}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}\left(1\right) \end{gathered}$$
Vì $\mathrm{△}ABC$ cân tại $A (gt)\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}$ (tính chất tam giác cân)
Mà: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0$ (định lý tổng ba góc trong tam giác)
$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{2B}+\widehat{A}={180}^0 \\ \Rightarrow \widehat{B}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}\left(2\right) \end{gathered}$$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{B}$, mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra DE//BC

(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Do đó BDEC là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).
Lại có $\widehat{B}=\widehat{C}$ (chứng minh trên)
Nên BDEC là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).

b) Với $\widehat{A}={50}^{\circ }$
Ta được $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}=\frac{{180}^0-{50}^0}{2}={65}^{\circ }$

$\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}=\frac{{180}^0-{50}^0}{2}={65}^{\circ }$ (2 góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{D_2}={180}^0-\widehat{B}={180}^0-{65}^0={115}^0$
Mà BDEC là hình thang cân (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat{D_2}=\widehat{E_2}={115}^0$ (tính chất hình thang cân)