Đề bài

Hình thang ABCD (AB//CD) có $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Xét $\mathrm{\Delta }ECD$ có: $\widehat{C_1}=\widehat{D_1}$ (giả thiết)
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }EC\mathrm{D}$ cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
$\Rightarrow EC=ED$ (tính chất tam giác cân) (1)
Ta có:
$\mathrm{AB}//\mathrm{DC} (giả thiết)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{BA\mathrm{E}}=\widehat{C_1}\\ \widehat{AB\mathrm{E}}=\widehat{D_1}\end{array}\right.$ (so le trong)
Mà: $\widehat{C_1}=\widehat{D_1}$ (giả thiết) $\Rightarrow \widehat{BA\mathrm{E}}=\widehat{AB\mathrm{E}}\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABE$ cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
$\Rightarrow AE=BE$ (tính chất tam giác cân) (2)
Lại có:
$\left\{\begin{array}{l}AC=A\mathrm{E}+EC\\ B\mathrm{D}=BE+DE\end{array}\right.\left(3\right)$
Từ' (1),(2) và (3) suy ra AC=BD.
Suy ra hình thang ABCD là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang).