Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE ($D\in AC,E\in AB$). Chứng minh rằng BEDC là hình thang

cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Lời giải chi tiết

$\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại A (giả thiết)
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{array}\right.$ (tính chất tam giác cân)
Vì BD, CE lần lượt là phân giác của $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$ (giả thiết)
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\\ \widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\frac{\widehat{ACB}}{2}\end{array}\right.$ (tính chất tia phân giác)
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$
Xét $\mathrm{△}ABD$ và $\mathrm{△}ACE$ có:
+) AB=AC (chứng minh trên)
+) $\widehat{A}$ chung
+) $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \mathrm{△}ABD=\mathrm{△}ACE(g.c.g)$
$\Rightarrow A\mathrm{D}=A\mathrm{E}$ (2 cạnh tương ứng).
Ta có AD=AE (chứng minh trên) nên $\mathrm{△}ADE$$ cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
$\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{ADE}$ (tính chất tam giác cân)