Đề bài

Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AC=BD.

Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng mình rằng:
a) $\mathrm{\Delta }BDE$ là tam giác cân.
b) $\mathrm{\Delta }ACD=\mathrm{\Delta }BDC$.
c) Hình thang ABCD là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

a) E thuộc đường thẳng DC nên CE//AB.
Hình thang ABEC (AB // CE) có hai cạnh bên AC, BE song song (giả thiết) $\Rightarrow AC=BE$ (1) (nếu một hình thang

có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau )
Lại có: AC=BD (giả thiết) (2)
Từ' (1) và (2) suy ra $E=BD\Rightarrow \mathrm{\Delta }BED$ cân tại B (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
b) Ta có $C//BE\Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{E}$ (2 góc đồng vị) (3)
$\mathrm{\Delta }BDE$ cân tại B (chứng minh trên) $\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{E}\left(4\right)$
Từ (3) và $\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{C_1}$
Xét $\mathrm{△}ACD$ và $\mathrm{△}BDC$ có:
+) AC=BD (giả thiết)
+) $\widehat{C_1}=\widehat{D_1}$ (chứng minh trên)
+) CD chung
Suy ra $\mathrm{\Delta }ACD=\mathrm{\Delta }BDC$$ (c.g.c)
c) Ta có: $\mathrm{\Delta }ACD=\mathrm{\Delta }BDC$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \widehat{A\mathrm{DC}}=\widehat{BCD}$ (2 góc tương ứng)
Hình thang ABCD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.