1. Lũy thừa là gì?

a) Lũy thừa với mũ số nguyên

Cho n là một số nguyên dương

* Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a: $a^n=\frac{a.a.....a}{n}$

* Với a≠0:

• a⁰ = 1
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Trong biểu thức a^m, ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

Lưu ý:

• 0⁰ và 0ⁿ không có nghĩa
• Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương.

b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho a là số thực dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$trong đó $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, n\ge 2$. Lũy thừa với số mũ r là số $a^r$ xác

định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

c) Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Cho a là một số dương, $\alpha$ là một số vô tỉ:

Ta gọi giới hạn của dãy số ($a^{r_n}$) là lũy thừa của a với số mũ $\alpha$, kí hiệu là $a^{\alpha }$.

$a^{\alpha }=\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}^{r_n}$ với $\alpha =\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n$

2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa

Với số thực $a>0$ ta có các tính chất sau:

• $a^x.a^y=a^{x+y} x,y\in \mathrm{ℝ}$
• $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} x,y\in \mathrm{ℝ}$
• ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy} x,y\in \mathrm{ℝ}$
• $\sqrt[x]{a^y}=a^{\frac{y}{x}} x\in \mathrm{\mathbb{N}}, x\ge 2, y\in \mathrm{ℝ}$
• ${(a.b)}^x=a^x.b^x$
• ${\left(\frac{a}{b}\right)}^y=\frac{a^y}{b^y}$

3. So sánh hai lũy thừa

Cho số thực a:

• Nếu $a>1$ thì $a^x>a^y\iff x>y$
• Nều $a>1$ thì $a^x>a^y\iff x<y$