Hướng dẫn giải Bài 9 (Trang 26 SGK Toán Hình học 12)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>60</mn><mn>0</mn></msup></math>. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF. Giải  <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/23022022/hinh-44-ZOCGKu.png" /> Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là giao điểm của AM và SO thì EF qua I và song song với BD. Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>B</mi><mi>D</mi><mo>⊥</mo><mi>A</mi><mi>C</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>B</mi><mi>D</mi><mo>⊥</mo><mi>S</mi><mi>O</mi></mtd></mtr></mtable><mo>⇒</mo><mi>B</mi><mi>D</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mi>C</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>E</mi><mi>F</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>⇒</mo><mi>E</mi><mi>F</mi><mo>⊥</mo><mi>A</mi><mi>M</mi></math> I là trọng tâm tam giác SAC nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>O</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></math> Trong <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>△</mo><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>D</mi></math> EF//BD nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>E</mi><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>D</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>O</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⇒</mo><mi>E</mi><mi>F</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>B</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math> Vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi><mi>O</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi>S</mi><mi>C</mi><mi>O</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><msup><mn>60</mn><mn>0</mn></msup></math> nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>△</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mi>C</mi></math> là tam giác đều cạnh <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math> do đó: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>M</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>.</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>6</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc AEMF là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>E</mi><mi>M</mi><mi>F</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>M</mi><mo>.</mo><mi>E</mi><mi>F</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>6</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></math> Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>⊥</mo><mi>E</mi><mi>F</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>v</mi><mi>ì</mi><mo> </mo><mi>E</mi><mi>F</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>⊥</mo><mi>A</mi><mi>M</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>v</mi><mi>ì</mi><mo> </mo><mo>△</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mi>C</mi><mo> </mo><mi>đ</mi><mi>ề</mi><mi>u</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable><mo>⇒</mo><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>A</mi><mi>E</mi><mi>M</mi><mi>F</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mspace linebreak="newline"/><mi>S</mi><mi>M</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow><mi>S</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>E</mi><mi>M</mi><mi>F</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>S</mi><mi>M</mi><mo>.</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>E</mi><mi>M</mi><mi>F</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><msqrt><mn>6</mn></msqrt></mrow><mn>18</mn></mfrac></math>