Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc ${60}^0$. Gọi M là

trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp

S.AEMF.

Giải 

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là giao điểm của AM và SO thì EF qua I và song song với BD.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BD\perp AC\\ BD\perp SO\end{array}\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)\right.$

$\Rightarrow EF\perp \left(SAC\right)\Rightarrow EF\perp AM$

I là trọng tâm tam giác SAC nên $\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}$

Trong $△SBD$ EF//BD nên $\frac{EF}{BD}=\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{2}{3}.BD=\frac{2}{3}a\sqrt{2}$

Vì $\widehat{SAO}=\widehat{SCO}={60}^0$ nên $△SAC$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{2}$ do đó:

$AM=a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc AEMF là

$S_{AEMF}=\frac{1}{2}.AM.EF=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{2}{3}a\sqrt{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}$

Ta có $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}SC\perp EF (vì EF\perp (SAC\left)\right)\\ SC\perp AM (vì △SAC đều)\end{array}\Rightarrow SC\perp \left(AEMF\right)\right. \\ SM=\frac{1}{2}SC=\frac{a\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Vậy $V_{S.AEMF}=\frac{1}{3}.SM.S_{AEMF}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{3}=\frac{a^3\sqrt{6}}{18}$