Hướng dẫn giải Bài 8 (Trang 26 SGK Toán Hình học 12)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c. Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB' vuông góc với SB, AD' vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.  Giải <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/22022022/hinh-43-ZrNkxl.png" /> Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, I là giao điểm của SO và B'D' thì C' là giao điểm của đường thẳng AI với SC.  Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>⊥</mo><mi>S</mi><mi>A</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>⊥</mo><mi>A</mi><mi>B</mi></mtd></mtr></mtable><mo>⇒</mo></mrow></mfenced><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>⊥</mo><mi>m</mi><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>)</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>⊥</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>'</mo></math>. Mà <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mo>⊥</mo><mi>S</mi><mi>B</mi></math> nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>)</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mo>⊥</mo><mi>S</mi><mi>C</mi></math>. Tương tự <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>'</mo><mo>⊥</mo><mi>S</mi><mi>C</mi></math> Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>D</mi><mo>'</mo><mo>)</mo></math> Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>,</mo><mo> </mo><mi>S</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>,</mo><mo> </mo><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></math> Trong tam giác SAB, ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mo>.</mo><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>⇒</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>a</mi></mrow><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></math> Tương tự <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>b</mi></mrow><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac><mo>;</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mi>C</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mrow><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></math> Suy ra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><msqrt><mi>S</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mfrac><mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></msqrt><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></math> Tương tự <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mi>D</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac><mo>;</mo><mo> </mo><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></math> Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>△</mo><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>'</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mo>~</mo><mo>△</mo><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></math> nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>.</mo><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>b</mi><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>.</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mrow></mfrac></math> Tương tự: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>D</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msqrt><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mo> </mo></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>.</mo><msqrt><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mrow></mfrac></math> Vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mo>⊥</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>'</mo><mo>⊥</mo><mi>D</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo></math>, nên ta có:  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mfrac><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac><mfrac><mi>b</mi><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>a</mi></mrow><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><msup><mi>c</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mfenced><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfenced><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mrow></mfrac></math> Tương tự: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><msup><mi>c</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mfenced><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfenced><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mrow></mfrac></math> Từ đó suy ra thể tích khối chóp phải tìm bằng:  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><msup><mi>c</mi><mn>3</mn></msup></mrow><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac><mo>.</mo><mfenced><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>.</mo><mfrac><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></math>    <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><msup><mi>c</mi><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mo>(</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo><mo>(</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><msup><mi>c</mi><mn>5</mn></msup><mo>(</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>(</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo><mo>(</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo><mo>(</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></mrow></mfrac></math>