Hướng dẫn giải Bài 8 (Trang 26 SGK Toán Hình học 12)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c.

Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB' vuông góc với SB, AD' vuông góc với SD.

Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.

Giải

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, I là giao điểm của SO và B'D' thì C' là giao điểm của đường thẳng AI với SC.

Ta có $\{\begin{array}{l} B C ⊥ S A \\ B C ⊥ A B \end{array} \Rightarrow B C ⊥ m p (S A B)$

$\Rightarrow B C ⊥ A B'$ . Mà $A B' ⊥ S B$ nên $A B' ⊥ (S B C)$

$\Rightarrow A B' ⊥ S C$ . Tương tự $A D' ⊥ S C$

Vậy $S C ⊥ (A B' D')$

Ta có: $S B = \sqrt{a^{2} + c^{2}}, S D = \sqrt{b^{2} + c^{2}}, S C = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Trong tam giác SAB, ta có $S A . A B = A B' . S B \Rightarrow A B' = \frac{S A . A B}{S B} = \frac{c a}{\sqrt{a^{2} + c^{2}}}$

Tương tự $A D' = \frac{c b}{\sqrt{a^{2} + c^{2}}}; A C' = \frac{c \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Suy ra $S B' = \sqrt{S A^{2} - A B^{2}} = \sqrt{c^{2} - \frac{c^{2} a^{2}}{a^{2} + c^{2}}} = \frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2} + c^{2}}}$

Tương tự $S D' = \frac{c^{2}}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}; S C' = \frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Ta có $△ S C' B' ~ △ S B C$ nên $\frac{B' C'}{B C} = \frac{S C'}{S B}$

$\Rightarrow B' C' = \frac{B C . S C'}{S C} = \frac{b c^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{a^{2} + c^{2}}}$

Tương tự: $D' C' = \frac{a c^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{b^{2} + c^{2}}}$

Vì $A B' ⊥ B' C'$ và $A D' ⊥ D' C'$ , nên ta có:

$S_{A B' C'} = \frac{1}{2} B' C' . A B' = \frac{1}{2} \frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2} + c^{2}}} \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \frac{c a}{\sqrt{a^{2} + c^{2}}} = \frac{1}{2} \frac{a b c^{3}}{(a^{2} + c^{2}) \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Tương tự: $S_{A D' C'} = \frac{1}{2} \frac{a b c^{3}}{(b^{2} + c^{2}) \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Từ đó suy ra thể tích khối chóp phải tìm bằng:

$V = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} \frac{a b c^{3}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} . (\frac{1}{a^{2} + c^{2}} + \frac{1}{b^{2} + c^{2}}) . \frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$= \frac{1}{6} \frac{a b c^{5}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \frac{a^{2} + b^{2} + 2 c^{2}}{(a^{2} + c^{2}) (b^{2} + c^{2})} = \frac{a b c^{5} (a^{2} + b^{2} + 2 c^{2)}}{6 (a^{2} + c^{2}) (b^{2} + c^{2}) (a^{2} + b^{2} + c^{2})}$