Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a, BC=6a, CA=7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc ${60}^0$.

Tính thể tích của khối chóp đó.

Giải 

Kẻ $SH\perp \left(ABC\right), HE\perp AB, HF\perp BC, HJ\perp AC$.

Vì các góc $\widehat{SEH}, \widehat{SFH}$ và $\widehat{SJH}$ đều bằng ${60}^0$ nên HE=HF=HJ=r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Nửa chu vi tam giác ABC bằng p=9a.

Theo công thức Hê-rông diện tích tam giác ABC bằng: 

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9.4.3.2}.a^2=6\sqrt{6}.a^2$

Áp dụng công thức S=p.r, ta có $r=\frac{S}{p}=\frac{2\sqrt{6}a}{3}$

Xét tam giác vuông SEH ta có: 

$SH=EH.\tan \left({60}^0\right)=r\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}a}{3}.\sqrt{3}=2\sqrt{2}a$

Vậy $V_{SABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.2\sqrt{2}a.6\sqrt{6}{a}^2=8\sqrt{3}{a}^3$