Hướng dẫn giải Bài 7 (Trang 26 SGK Toán Hình học 12)

Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a, BC=6a, CA=7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>60</mn><mn>0</mn></msup></math>. Tính thể tích của khối chóp đó. Giải  <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/22022022/hinh-42-2PGQoH.png" /> Kẻ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mi>H</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mi>H</mi><mi>E</mi><mo>⊥</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>H</mi><mi>F</mi><mo>⊥</mo><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>H</mi><mi>J</mi><mo>⊥</mo><mi>A</mi><mi>C</mi></math>. Vì các góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>S</mi><mi>E</mi><mi>H</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>S</mi><mi>F</mi><mi>H</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>S</mi><mi>J</mi><mi>H</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> đều bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>60</mn><mn>0</mn></msup></math> nên HE=HF=HJ=r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Nửa chu vi tam giác ABC bằng p=9a. Theo công thức Hê-rông diện tích tam giác ABC bằng:  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mo>=</mo><msqrt><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>-</mo><mi>a</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>-</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>9</mn><mo>.</mo><mn>4</mn><mo>.</mo><mn>3</mn><mo>.</mo><mn>2</mn></msqrt><mo>.</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>6</mn><msqrt><mn>6</mn></msqrt><mo>.</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></math> Áp dụng công thức S=p.r, ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>S</mi><mi>p</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>6</mn></msqrt><mi>a</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac></math> Xét tam giác vuông SEH ta có:  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mi>E</mi><mi>H</mi><mo>.</mo><mi>tan</mi><mfenced><msup><mn>60</mn><mn>0</mn></msup></mfenced><mo>=</mo><mi>r</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>6</mn></msqrt><mi>a</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mi>a</mi></math> Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>S</mi><mi>H</mi><mo>.</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mi>a</mi><mo>.</mo><mn>6</mn><msqrt><mn>6</mn></msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>8</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></math>