Cho lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm A'B', N là trung điểm BC.

a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN.

b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh

A, (H') là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{V_{\left(H\right)}}{V_{(H\text{'})}}$

Giải

a) Ta có $V_{ADMN}=V_{M.AND}=\frac{1}{3}A\text{'}.A.S_{AND}=\frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}a.a=\frac{a^3}{6}$

b) Từ M kẻ ME // DN (E thuộc A'D')

    Từ N kẻ NF // DE (F thuộc BB')

Thiết diện mp(DMN) với hình lập phương là ngũ giác DEMF chia (H) thành các hình chóp F.DBN,

D.ABFMA' và D.A'EM

Ta có $△A\text{'}ME ~△CDN$ nên 

$$\begin{gathered} \frac{A\text{'}E}{A\text{'}M}=\frac{CN}{CD}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow A\text{'}E=\frac{1}{2}A\text{'}M=\frac{a}{4} \end{gathered}$$

$△FBN~△DD\text{'}E$ nên 

$$\begin{gathered} \frac{BF}{BN}=\frac{D\text{'}D}{D\text{'}E}=\frac{4}{3} \\ \Rightarrow BF=\frac{4}{3}.\frac{a}{2}=\frac{2a}{3} \end{gathered}$$

Diện tích $△DBN: S_{DBN}=\frac{1}{2}.a.\frac{a}{2}=\frac{a^2}{4}$

Thể tích hình chóp F.DBN là

$V_{F.DBN}=\frac{1}{3}.BF.S_{DBN}=\frac{1}{3}.\frac{2a}{3}.\frac{a^2}{4}=\frac{a^3}{18}$

Ta có $S_{MFB\text{'}}=\frac{1}{2}.MB\text{'}.B\text{'}F=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{3}=\frac{a^2}{12}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow S_{ABFMA\text{'}}=S_{ABB\text{'}A\text{'}}-S_{MFB\text{'}}=a^2-\frac{a^2}{12}=\frac{11a^2}{12} \\ \Rightarrow V_{D.ABFMA\text{'}}=\frac{1}{3}.S_{ABFMA}.DA=\frac{1}{3}.\frac{11a^2}{12}.a=\frac{11a^3}{36} \end{gathered}$$

Diện tích $△A\text{'}EM: S_{A\text{'}EM}=\frac{1}{2}A\text{'}M.A\text{'}E=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{4}=\frac{a^2}{16}$

$\Rightarrow V_{D.A\text{'}ME}=\frac{1}{3}.S_{A\text{'}EM}.DD\text{'}=\frac{1}{3}.\frac{a^2}{16}.a=\frac{a^3}{48}$

Thể tích khối đa diện (H)

$V_{\left(H\right)}=V_{F.DBN}+V_{D.ABFMA\text{'}}+V_{D.A\text{'}EM}=\frac{a^2}{18}+\frac{11a^3}{36}+\frac{a^3}{48}=\frac{55a^3}{144}$

Thể tích khối đa diện (H')

$V_{(H\text{'})}=V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}-V_{\left(H\right)}=a^3-\frac{55a^3}{144}=\frac{89a^3}{144}$

Vậy $\frac{V_{\left(H\right)}}{V_{(H\text{'})}}=\frac{55}{89}$