Hướng dẫn giải Bài 12 (Trang 27 SGK Toán Hình học 12)

Cho lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm A'B', N là trung điểm BC. a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN. b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H') là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>V</mi><mrow><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>)</mo></mrow></msub><msub><mi>V</mi><mrow><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>'</mo><mo>)</mo></mrow></msub></mfrac></math> Giải <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/23022022/hinh-47-cgoBdY.png" /> a) Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi><mi>M</mi><mi>N</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>M</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>N</mi><mi>D</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>A</mi><mo>'</mo><mo>.</mo><mi>A</mi><mo>.</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>N</mi><mi>D</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>a</mi><mo>.</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mn>6</mn></mfrac></math> b) Từ M kẻ ME // DN (E thuộc A'D')     Từ N kẻ NF // DE (F thuộc BB') Thiết diện mp(DMN) với hình lập phương là ngũ giác DEMF chia (H) thành các hình chóp F.DBN, D.ABFMA' và D.A'EM Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>△</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>M</mi><mi>E</mi><mo> </mo><mo>~</mo><mo>△</mo><mi>C</mi><mi>D</mi><mi>N</mi></math> nên  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>M</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>E</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>M</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>4</mn></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>△</mo><mi>F</mi><mi>B</mi><mi>N</mi><mo>~</mo><mo>△</mo><mi>D</mi><mi>D</mi><mo>'</mo><mi>E</mi></math> nên  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>B</mi><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>N</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>D</mi><mo>'</mo><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>D</mi><mo>'</mo><mi>E</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>B</mi><mi>F</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac></math> Diện tích <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>△</mo><mi>D</mi><mi>B</mi><mi>N</mi><mo>:</mo><mo> </mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>D</mi><mi>B</mi><mi>N</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac></math> Thể tích hình chóp F.DBN là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow><mi>F</mi><mo>.</mo><mi>D</mi><mi>B</mi><mi>N</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>B</mi><mi>F</mi><mo>.</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>D</mi><mi>B</mi><mi>N</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mn>18</mn></mfrac></math> Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>M</mi><mi>F</mi><mi>B</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>M</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mo>.</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>F</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mn>12</mn></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>F</mi><mi>M</mi><mi>A</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>A</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>M</mi><mi>F</mi><mi>B</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mn>12</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>11</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>12</mn></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>D</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>F</mi><mi>M</mi><mi>A</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>F</mi><mi>M</mi><mi>A</mi></mrow></msub><mo>.</mo><mi>D</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mn>11</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>12</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>11</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>36</mn></mfrac></math> Diện tích <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>△</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>E</mi><mi>M</mi><mo>:</mo><mo> </mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>E</mi><mi>M</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>M</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>E</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mn>16</mn></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>D</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>M</mi><mi>E</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>E</mi><mi>M</mi></mrow></msub><mo>.</mo><mi>D</mi><mi>D</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mn>16</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mn>48</mn></mfrac></math> Thể tích khối đa diện (H) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>)</mo></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>F</mi><mo>.</mo><mi>D</mi><mi>B</mi><mi>N</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>D</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>F</mi><mi>M</mi><mi>A</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>D</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>E</mi><mi>M</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mn>18</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>11</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>36</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mn>48</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>55</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>144</mn></mfrac></math> Thể tích khối đa diện (H') <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>'</mo><mo>)</mo></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo><mi>D</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>)</mo></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>55</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>144</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>89</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>144</mn></mfrac></math> Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>V</mi><mrow><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>)</mo></mrow></msub><msub><mi>V</mi><mrow><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>'</mo><mo>)</mo></mrow></msub></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>55</mn><mn>89</mn></mfrac></math>