Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc ${60}^0$.

Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. 

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC.

Giải

Gọi E là trung điểm BC. H là tâm tam giác đều ABC thì $SH\perp mp\left(ABC\right)$

Ta có $AH=\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\widehat{SAH}={60}^0$là góc giữa cạnh bên SA với mp(ABC).

Trong tam giác vuông SAH ta có:

 $$\begin{gathered} SH=AH.\tan \left({60}^0\right)=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a \\ DE=AE\sin \left({60}^0\right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{4} \\ SA=\frac{AH}{\cos \left({60}^0\right)}=2AH=\frac{2a\sqrt{3}}{3} \\ AD=AE.\cos \left({60}^0\right)=\frac{AE}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4} \\ \Rightarrow SD=SA-AD=\frac{2a\sqrt{3}}{3}-\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{5a\sqrt{3}}{12} \end{gathered}$$

a) $\frac{V_{S.DBC}}{V_{S.ABC}}=\frac{SD}{SA}.\frac{SB}{SB}.\frac{SC}{SC}=\frac{SD}{SA}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}:\frac{2a\sqrt{3}}{3}=\frac{5}{8}$

b) $V_{S.DBC}=\frac{1}{3}.SD.\frac{1}{2}.DE.BC=\frac{1}{6}.\frac{5a\sqrt{3}}{12}.\frac{3a}{4}.a=\frac{a^{3}5\sqrt{3}}{96}$