Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 26 SGK Toán Hình học 12)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>60</mn><mn>0</mn></msup></math>. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.  a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC. b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC. Giải <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/22022022/hinh-41-zGLUsZ.png" /> Gọi E là trung điểm BC. H là tâm tam giác đều ABC thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mi>H</mi><mo>⊥</mo><mi>m</mi><mi>p</mi><mfenced><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced></math> Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>A</mi><mi>E</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mspace linebreak="newline"/></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi><mi>H</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><msup><mn>60</mn><mn>0</mn></msup><mo> </mo></math>là góc giữa cạnh bên SA với mp(ABC). Trong tam giác vuông SAH ta có:  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mi>H</mi><mo>.</mo><mi>tan</mi><mfenced><msup><mn>60</mn><mn>0</mn></msup></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>=</mo><mi>a</mi><mspace linebreak="newline"/><mi>D</mi><mi>E</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mi>E</mi><mi>sin</mi><mfenced><msup><mn>60</mn><mn>0</mn></msup></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>a</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mfenced><msup><mn>60</mn><mn>0</mn></msup></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>A</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mi>E</mi><mo>.</mo><mi>cos</mi><mfenced><msup><mn>60</mn><mn>0</mn></msup></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>E</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>4</mn></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>S</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>-</mo><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>4</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>12</mn></mfrac></math> a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>V</mi><mrow><mi>S</mi><mo>.</mo><mi>D</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub><msub><mi>V</mi><mrow><mi>S</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>12</mn></mfrac><mo>:</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>8</mn></mfrac></math> b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow><mi>S</mi><mo>.</mo><mi>D</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>S</mi><mi>D</mi><mo>.</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>D</mi><mi>E</mi><mo>.</mo><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>12</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>a</mi></mrow><mn>4</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mn>5</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>96</mn></mfrac></math>