Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. 

a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C.

b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình

chóp C.A'B'FE.

Giải

a) Ta có: $V_{A\text{'}.BB\text{'}C}=V_{A\text{'}.B\text{'}C\text{'}C}=V_{C.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{1}{3}.V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{1}{3}.a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và A'B', J là trọng tâm tam giác ABC. Đường thẳng qua J và song

song với AB cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng EF chính là giao của (JA'B') với (ABC). Khi đó,

vì $EF\perp \left(CJK\right)$ nên $\left(A\text{'}B\text{'}FE\right)\perp \left(CJK\right)$, suy ra khoảng cách từ C đến (A'B'FE) bằng khoảng cách từ C đến KJ.

Ta có:

$$\begin{gathered} IJ=\frac{1}{3}CI=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6} \\ \Rightarrow KJ=\sqrt{I{K}^2+I{J}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{12}}=a\sqrt{\frac{13}{12}} \\ {S}_{JKC}=\frac{2}{3}.S_{IKC}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.a\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6} \end{gathered}$$ 

Khoảng cách từ C đến KJ là $h=d(C, KJ)=\frac{2S_{JKC}}{KJ}=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}:a\sqrt{\frac{13}{12}}=\frac{2a\sqrt{13}}{13}$
Diện tích hình thang A'B'FE là: $S=\frac{1}{2}\left(a+\frac{2}{3}a\right).a\sqrt{\frac{13}{12}}=\frac{5a^2}{12}.\sqrt{\frac{13}{3}}$

Thể tích hình chóp C.A'B'FE là: $V=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}.\frac{5a^2}{12}\sqrt{\frac{13}{3}}.\frac{2a\sqrt{13}}{13}=\frac{5a^3}{18\sqrt{3}}$