Hướng dẫn giải Bài 10 (Trang 27 SGK Toán Hình học 12)

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a.  a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C. b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE. Giải <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/23022022/hinh-45-3f9cKa.png" /> a) Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow><mi>A</mi><mo>'</mo><mo>.</mo><mi>B</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>A</mi><mo>'</mo><mo>.</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo><mi>C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>C</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>4</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>12</mn></mfrac></math> b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và A'B', J là trọng tâm tam giác ABC. Đường thẳng qua J và song song với AB cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng EF chính là giao của (JA'B') với (ABC). Khi đó, vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>E</mi><mi>F</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>C</mi><mi>J</mi><mi>K</mi><mo>)</mo></math> nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>F</mi><mi>E</mi></mrow></mfenced><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>C</mi><mi>J</mi><mi>K</mi><mo>)</mo></math>, suy ra khoảng cách từ C đến (A'B'FE) bằng khoảng cách từ C đến KJ. Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>I</mi><mi>J</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>C</mi><mi>I</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>6</mn></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>K</mi><mi>J</mi><mo>=</mo><msqrt><mi>I</mi><msup><mi>K</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>I</mi><msup><mi>J</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mn>12</mn></mfrac></msqrt><mo>=</mo><mi>a</mi><msqrt><mfrac><mn>13</mn><mn>12</mn></mfrac></msqrt><mspace linebreak="newline"/><msub><mi>S</mi><mrow><mi>J</mi><mi>K</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>I</mi><mi>K</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>a</mi><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>6</mn></mfrac></math>  Khoảng cách từ C đến KJ là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mo>(</mo><mi>C</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>K</mi><mi>J</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msub><mi>S</mi><mrow><mi>J</mi><mi>K</mi><mi>C</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>K</mi><mi>J</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>:</mo><mi>a</mi><msqrt><mfrac><mn>13</mn><mn>12</mn></mfrac></msqrt><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi><msqrt><mn>13</mn></msqrt></mrow><mn>13</mn></mfrac></math> Diện tích hình thang A'B'FE là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>a</mi></mrow></mfenced><mo>.</mo><mi>a</mi><msqrt><mfrac><mn>13</mn><mn>12</mn></mfrac></msqrt><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>12</mn></mfrac><mo>.</mo><msqrt><mfrac><mn>13</mn><mn>3</mn></mfrac></msqrt></math> Thể tích hình chóp C.A'B'FE là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>S</mi><mo>.</mo><mi>h</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>12</mn></mfrac><msqrt><mfrac><mn>13</mn><mn>3</mn></mfrac></msqrt><mo>.</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi><msqrt><mn>13</mn></msqrt></mrow><mn>13</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>18</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mfrac></math>