Bài 5. Xác suất của biến cố
Lý thuyết Xác suất của biến cố
<p><strong>1. Định nghĩa cổ điển của xác suất</strong></p>
<p>Giả sử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> là biến cố liên quan đến phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math> và phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math> có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả</p>
<p>năng. Khi đó ta gọi tỉ số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced></mrow><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>Ω</mi></mfenced></mrow></mfrac></math> là xác suất của biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>, kí hiệu là</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced></mrow><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>Ω</mi></mfenced></mrow></mfrac></math></p>
<p>Trong đó,</p>
<p>+) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced></math> là số phần tử của tập hợp <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math> thuận lợi</p>
<p>cho biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>;</p>
<p>+) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mfenced><mi>Ω</mi></mfenced></math> là số phần tử của không gian mẫu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi></math>, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math>.</p>
<p><strong>Ví dụ:</strong></p>
<p>Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để mặt xuất hiện là mặt có số chia</p>
<p>hết cho 3.</p>
<p>Hướng dẫn:</p>
<p>Không gian mẫu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>5</mn><mo>;</mo><mn>6</mn></mrow></mfenced></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>n</mi><mfenced><mi>Ω</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>6</mn></math>.</p>
<p>Biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>: Mặt xuất hiện có số chia hết cho 3.</p>
<p>Khi đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>6</mn></mrow></mfenced></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>n</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>2</mn></math>.</p>
<p>Vậy xác suất <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced></mrow><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>Ω</mi></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math>.</p>
<p><strong>2. Các tính chất cơ bản của xác suất</strong></p>
<p><strong>2.1 Định lí</strong></p>
<p>a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mfenced><mo>∅</mo></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mi>P</mi><mfenced><mi>Ω</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn></math>.</p>
<p>b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>P</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced><mo>≤</mo><mn>1</mn></math>, với mọi biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>.</p>
<p>c) Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> xung khắc với nhau, thì ta có</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mfenced><mrow><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>P</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced><mo>+</mo><mi>P</mi><mfenced><mi>B</mi></mfenced></math>(công thức cộng xác suất).</p>
<p><strong>2.2 Hệ quả</strong></p>
<p>Với mọi biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>, ta luôn luôn có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mfenced><mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>P</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced></math>.</p>
<p><strong>3. Hai biến cố độc lập</strong></p>
<p><strong>Định nghĩa</strong></p>
<p>Hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra</p>
<p>hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia (</p>
<p>nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia).</p>
<p><strong>Định lí</strong></p>
<p>Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>,</mo><mi>B</mi></math> là hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) sao cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced><mo>></mo><mn>0</mn></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mfenced><mi>B</mi></mfenced><mo>></mo><mn>0</mn></math> thì ta có:</p>
<p>a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mfenced><mrow><mi>A</mi><mo>.</mo><mi>B</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>P</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced><mo>.</mo><mi>P</mi><mfenced><mi>B</mi></mfenced></math></p>
<p>Chú ý: Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.</p>
<p>b) Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>B</mi><mo>¯</mo></mover></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>B</mi><mo>¯</mo></mover></math>.</p>
<p><strong>Ví dụ:</strong></p>
<p>Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất các biến cố sau:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>:</mo></math> “Lần thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mo>:</mo></math>“Lần thứ hai xuất hiện mặt 4 chấm”</p>
<p>Từ đó suy ra hai biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> độc lập.</p>
<p>Hướng dẫn</p>
<p>Không gian mẫu: </p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mfenced><mrow><mi>i</mi><mo>;</mo><mi>j</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℤ</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><mn>6</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mn>6</mn></mrow></mfenced><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>n</mi><mfenced><mi>Ω</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>6</mn><mo>.</mo><mn>6</mn><mo>=</mo><mn>36</mn></math>.</p>
<p>Biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>:</mo></math> “Lần thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>5</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>6</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>n</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>6</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>P</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced></mrow><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>Ω</mi></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>6</mn><mn>36</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac></math></p>
<p>Biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mo>:</mo></math> “Lần thứ hai xuất hiện mặt 4 chấm”</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced><mrow><mn>2</mn><mo>;</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced><mrow><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced><mrow><mn>5</mn><mo>;</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mfenced><mrow><mn>6</mn><mo>;</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>n</mi><mfenced><mi>B</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>6</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>P</mi><mfenced><mi>B</mi></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>B</mi></mfenced></mrow><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>Ω</mi></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>6</mn><mn>36</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac></math></p>
<p>Gọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mo>.</mo><mi>B</mi></math> là biến cố: “Cả hai lần đều xuất hiện mặt 4 chấm”.</p>
<p>Khi đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced></mfenced><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>P</mi><mfenced><mrow><mi>A</mi><mo>.</mo><mi>B</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>C</mi></mfenced></mrow><mrow><mi>n</mi><mfenced><mi>Ω</mi></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>36</mn></mfrac></math></p>
<p>Dễ thấy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mfenced><mrow><mi>A</mi><mo>.</mo><mi>B</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>P</mi><mfenced><mi>A</mi></mfenced><mo>.</mo><mi>P</mi><mfenced><mi>B</mi></mfenced></math> nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>,</mo><mi>B</mi></math> là hai biến cố độc lập.</p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 66 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 2 (Trang 69 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 74 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 74 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 74 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 74 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 74 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 74 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 7 (Trang 75 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải