Bài 3. Hàm số liên tục
Lý thuyết Hàm số liên tục
<p><strong>1. Hàm số liên tục</strong></p>
<p>Định nghĩa. Cho hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> xác định trên khoảng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>K</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>∈</mo><mi>K</mi></math> . Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> đươc gọi là liên tục</p>
<p>tại <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></math> nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></mrow></munder><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></mfenced></math>.</p>
<p>+) Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> không liên tục tại <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></math> được gọi là gián đoạn tại điểm đó.</p>
<p>+) Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.</p>
<p>+) Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> liên tục trên đoạn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="[" close="]"><mrow><mi>a</mi><mo>;</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></math> nếu nó liên tục trên khoảng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>;</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><msup><mi>a</mi><mo>+</mo></msup></mrow></munder><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>a</mi></mfenced><mo>;</mo><mo> </mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><msup><mi>b</mi><mo>-</mo></msup></mrow></munder><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>b</mi></mfenced></math>.</p>
<p>Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó.</p>
<p><strong>2. Các định lí</strong></p>
<p><em>Định lí 1.</em></p>
<p>a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math>.</p>
<p>b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của</p>
<p>tập xác định của chúng.</p>
<p><em>Định lí 2.</em></p>
<p>Giả sử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>g</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> là hai hàm số liên tục tại điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></math>. Khi đó:</p>
<p>a) Các hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>+</mo><mi>g</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>-</mo><mi>g</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>.</mo><mi>g</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> liên tục tại <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>;</p>
<p>b) Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></mrow><mrow><mi>g</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></mrow></mfrac></math> liên tục tại <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></math> nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi><mfenced><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></mfenced><mo>≠</mo><mn>0</mn></math>.</p>
<p><em>Định lí 3.</em></p>
<p>Nếu hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> liên tục trên đoạn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="[" close="]"><mrow><mi>a</mi><mo>;</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>a</mi></mfenced><mo>.</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>b</mi></mfenced><mo><</mo><mn>0</mn></math>, thì tồn tại ít nhất một điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mo>∈</mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>;</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></math> sao cho </p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>c</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math>.</p>
<p><em>Định lí 3</em> thường được áp dụng để chứng minh sự tồ tại nghiệm của phương trình trên một khoảng và nó còn</p>
<p>được phát triển dưới dạng khác như sau:</p>
<p>Cho hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> liên tục trên đoạn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="[" close="]"><mrow><mi>a</mi><mo>;</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>a</mi></mfenced><mo>.</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>b</mi></mfenced><mo><</mo><mn>0</mn></math>. Khi đó phương trình <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math> có ít nhất một nghiệm</p>
<p>trong khoảng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>;</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></math>.</p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 135 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 2 (Trang 138 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 4 (Trang 139 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 140 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 141 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 141 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 141 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 141 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 141 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải