1. Hàm số liên tục

Định nghĩa. Cho hàm số  $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $K$ và $x_0\in K$ . Hàm số $y=f\left(x\right)$ đươc gọi là liên tục

tại $x_0$ nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

+) Hàm số $y=f\left(x\right)$ không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

+) Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

+) Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ và $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right); \underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó.

2. Các định lí

Định lí 1.

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathrm{ℝ}$.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của

tập xác định của chúng.

Định lí 2.

Giả sử $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ là hai hàm số liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a) Các hàm số $y=f\left(x\right)+g\left(x\right), y=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ và $y=f\left(x\right).g\left(x\right)$ liên tục tại $x$;

b) Hàm số $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g\left(x_0\right)\ne 0$.

Định lí 3.

Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$, thì tồn tại ít nhất một điểm $c\in \left(a;b\right)$ sao cho 

$f\left(c\right)=0$.

Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồ tại nghiệm của phương trình trên một khoảng và nó còn

được phát triển dưới dạng khác như sau:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$. Khi đó phương trình $f\left(x\right)=0$ có ít nhất một nghiệm

trong khoảng $\left(a;b\right)$.