Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.

a) 3(x² + x )² − 2(x² + x) − 1 = 0;                         b) (x² − 4x + 2)² + x² − 4x − 4 = 0;

c) x − $\sqrt{x}$ = 5$\sqrt{x}$ + 7 ;                                        d) $\frac{x}{x + 1} - 10. \frac{x + 1}{x } = 3$ .

Hướng dẫn: a) Đặt t = x² + x, ta có phương trình 3t² − 2t − 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x² + x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.

d) Đặt $\frac{x + 1}{x }$ = t hoặc $\frac{x}{x + 1}$ = t.

Giải

a) 3(x² + x)² − 2(x² + x) − 1 = 0. Đặt t = x² + x, ta có:

                3t² − 2t − 1 = 0; t₁ = 1, t₂ = −$\frac{1}{3}$ 

• Với t = 1, ta có: x² + x = 1 hay x² + x − 1= 0, ∆ = 4 + 1 = 5, $\sqrt{∆}$= $\sqrt{5}$ ⇒ x₁ = $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ , x₂ = $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ 
• Với t = −$\frac{1}{3}$ , ta có: x² + x = −$\frac{1}{3}$ hay 3x² + 3x + 1 = 0:

      Phương trình vô nghiệm, vì ∆ = 9 − 4.3.1 = −3 < 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = $\frac{-1 +\sqrt{5}}{2}$ , x₂ = $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ 

b) (x² − 4x + 2)² + x² − 4x − 4= 0.

Đặt t = x² − 4x + 2, ta có phương trình t² + t − 6 = 0.

Giải ra ta được t₁ = 2, t₂ = −3.

• Với t₁ = 2, ta có: x² − 4x + 2 = 2 hay x² − 4x = 0. Suy ra x₁ = 0, x₂ = 4.
• Với t₂ = −3, ta có: x² − 4x + 2 = −3 hay x² − 4x + 5 = 0. Phương trình này vô nghiệm vì ∆ = (−4)² − 4.1.5 = 16 − 20 = −4 < 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = 0, x₂ = 4

c) x − $\sqrt{x}$ = 5$\sqrt{x}$ + 7 ⇔  x − 6$\sqrt{x}$ − 7 = 0. Điều kiện: x ≥ 0. Đặt t = $\sqrt{x}$ , t ≥ 0

Ta có: t² − 6t − 7 = 0. Suy ra: t₁ = −1 (loại), t₂ = 7

Với t =7, ta có: $\sqrt{x}$ = 7. Suy ra x = 49. 

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 49

d) $\frac{x}{x + 1} - 10. \frac{x + 1}{x} = 3$. Điều kiện: x ≠ −1, x ≠  0

Đặt $\frac{x}{x + 1} = t$, ta có: $\frac{x + 1}{x} = \frac{1}{t}$ . Vậy ta có phương trình t − $\frac{10}{t}$ − 3 = 0

hay: t² − 3t − 10 = 0. Suy ra t₁ = 5, t₂ = −2.

• Với t₁ =5, ta có $\frac{x}{x + 1} = 5$ hay x = 5x + 5. Suy ra x = −$\frac{5}{4}$ .
• Với t₂ = −2, ta có $\frac{x}{x + 1}=-2$ hay x = −2x − 2. Suy ra x = −$\frac{2}{3}$ 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = −$\frac{5}{4}$ , x₂ = −$\frac{2}{3}$.