Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Hướng dẫn giải Bài 40 (Trang 57 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
<p>Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.</p>
<p>a) 3(x<sup>2</sup> + x )<sup>2</sup> − 2(x<sup>2</sup> + x) − 1 = 0; b) (x<sup>2</sup> − 4x + 2)<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> − 4x − 4 = 0;</p>
<p>c) x − <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mi>x</mi></msqrt></math> = 5<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mi>x</mi></msqrt></math> + 7 ; d) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>x</mi><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>−</mo><mo> </mo><mn>10</mn><mo>.</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi><mo> </mo></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>3</mn></math> .</p>
<p><em>Hướng dẫn</em>: a) Đặt t = x<sup>2</sup> + x, ta có phương trình 3t<sup>2</sup> − 2t − 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x<sup>2</sup> + x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.</p>
<p>d) Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi><mo> </mo></mrow></mfrac></math> = t hoặc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>x</mi><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math> = t.</p>
<p><strong>Giải</strong></p>
<p>a) 3(x<sup>2</sup> + x)<sup>2</sup> − 2(x<sup>2</sup> + x) − 1 = 0. Đặt t = x<sup>2</sup> + x, ta có:</p>
<p> 3t<sup>2</sup> − 2t − 1 = 0; t<sub>1</sub> = 1, t<sub>2</sub> = −<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math> </p>
<ul>
<li>Với t = 1, ta có: x<sup>2</sup> + x = 1 hay x<sup>2</sup> + x − 1= 0, ∆ = 4 + 1 = 5, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mo>∆</mo></msqrt></math>= <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>5</mn></msqrt></math> ⇒ x<sub>1</sub> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msqrt><mn>5</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> , x<sub>2</sub> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>−</mo><mo> </mo><msqrt><mn>5</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> </li>
<li>Với t = −<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math> , ta có: x<sup>2</sup> + x = −<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math> hay 3x<sup>2</sup> + 3x + 1 = 0:</li>
</ul>
<p> Phương trình vô nghiệm, vì ∆ = 9 − 4.3.1 = −3 < 0.</p>
<p>Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x<sub>1</sub> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>+</mo><msqrt><mn>5</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> , x<sub>2</sub> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>−</mo><mo> </mo><msqrt><mn>5</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> </p>
<p>b) (x<sup>2</sup> − 4x + 2)<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> − 4x − 4= 0.</p>
<p>Đặt t = x<sup>2</sup> − 4x + 2, ta có phương trình t<sup>2</sup> + t − 6 = 0.</p>
<p>Giải ra ta được t<sub>1</sub> = 2, t<sub>2</sub> = −3.</p>
<ul>
<li>Với t<sub>1</sub> = 2, ta có: x<sup>2</sup> − 4x + 2 = 2 hay x<sup>2</sup> − 4x = 0. Suy ra x<sub>1 </sub>= 0, x<sub>2</sub> = 4.</li>
<li>Với t<sub>2</sub> = −3, ta có: x<sup>2</sup> − 4x + 2 = −3 hay x<sup>2</sup> − 4x + 5 = 0. Phương trình này vô nghiệm vì ∆ = (−4)<sup>2</sup> − 4.1.5 = 16 − 20 = −4 < 0</li>
</ul>
<p>Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x<sub>1</sub> = 0, x<sub>2</sub> = 4</p>
<p>c) x − <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mi>x</mi></msqrt></math> = 5<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mi>x</mi></msqrt></math> + 7 ⇔ x − 6<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mi>x</mi></msqrt></math> − 7 = 0. Điều kiện: x ≥ 0. Đặt t = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mi>x</mi></msqrt></math> , t ≥ 0</p>
<p>Ta có: t<sup>2</sup> − 6t − 7 = 0. Suy ra: t<sub>1</sub> = −1 (loại), t<sub>2</sub> = 7</p>
<p>Với t =7, ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mi>x</mi></msqrt></math> = 7. Suy ra x = 49. </p>
<p>Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 49</p>
<p>d) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>x</mi><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>−</mo><mo> </mo><mn>10</mn><mo>.</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow><mi>x</mi></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>3</mn></math>. Điều kiện: x ≠<a title="Nguồn tham khảo từ bài viết Dấu khác (≠) trong Excel ứng dụng và cách viết được thực hiện bởi website Thủ Thuật Nhanh" href="https://thuthuatnhanh.com/cach-viet-dau-khac-trong-excel/"><img src="https://thuthuatnhanh.com/thuthuatnhanh.jpg" /></a> −1, x ≠ <a title="Nguồn tham khảo từ bài viết Dấu khác (≠) trong Excel ứng dụng và cách viết được thực hiện bởi website Thủ Thuật Nhanh" href="https://thuthuatnhanh.com/cach-viet-dau-khac-trong-excel/"><img src="https://thuthuatnhanh.com/thuthuatnhanh.jpg" /></a> 0</p>
<p>Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>x</mi><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>t</mi></math>, ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow><mi>x</mi></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mi>t</mi></mfrac></math> . Vậy ta có phương trình t − <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>10</mn><mi>t</mi></mfrac></math> − 3 = 0</p>
<p>hay: t<sup>2</sup> − 3t − 10 = 0. Suy ra t<sub>1</sub> = 5, t<sub>2</sub> = −2.</p>
<ul>
<li>Với t<sub>1</sub> =5, ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>x</mi><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>5</mn><mspace linebreak="newline"/></math> hay x = 5x + 5. Suy ra x = −<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>5</mn><mn>4</mn></mfrac></math> .</li>
<li>Với t<sub>2</sub> = −2, ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>x</mi><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></math> hay x = −2x − 2. Suy ra x = −<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></math> </li>
</ul>
<p>Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x<sub>1 </sub>= −<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>5</mn><mn>4</mn></mfrac></math> , x<sub>2</sub> = −<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></math>. </p>
<p> </p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Bài 34 (Trang 56 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 35 (Trang 56 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 36 (Trang 56 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 37 (Trang 56 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 38 (Trang 56-57 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 39 (Trang 57 SGK Toán Đại số 9, Tập 2)
Xem lời giải