Giải các phương trình:

a) (x − 3)² + (x + 4)² = 23 − 3x ;

b) x³ + 2x² − (x − 3)² = (x − 1)(x² − 2) ;

c) (x − 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5) ;                             d) $\frac{x(x - 7)}{3} - 1 = \frac{x}{2} - \frac{x - 4}{3}$ ;

e) $\frac{14}{x^2 - 9} = 1 - \frac{1}{3 - x}$ ;                                     f) $\frac{2x}{x+ 1} = \frac{x^2 - x + 8}{(x +1)(x- 4)}$ .

Giải

a) (x − 3)² + (x + 4)² = 23 − 3x ⇔ x² − 6x + 9 + x² + 8x + 16 = 23 − 3x 

                                                  ⇔ 2x² + 5x + 2 = 0

                                                     ∆ = 25 − 16 = 9 

                                                    x₁ = −2, x₂ = −$\frac{1}{2}$ 

b) x³ + 2x² − (x − 3)² = (x − 1)(x² − 2)

⇔ x³ + 2x² − x² + 6x − 9 = x³ − x² − 2x + 2 ⇔ 2x² + 8x − 11 = 0

                                      ∆' = 16 + 22 = 38

                                      x₁ = $\frac{-4 + \sqrt{38}}{2}$ , x₂ = $\frac{-4 - \sqrt{38}}{2}$ 

c) (x − 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5) ⇔ x³ − 3x² + 3x − 1 + 0,5x² = x³ + 1,5x

        ⇔ 2,5x² − 1,5x + 1 = 0

        ⇔ 5x² − 3x + 2 = 0 ; ∆ = 9 − 40 = − 31 < 0

Phương trình vô nghiệm.

d) $\frac{x(x - 7)}{3} - 1 = \frac{x}{2} - \frac{x - 4}{3}$ ⇔ 2x(x − 7) − 6 = 3x − 2(x − 4 )

                                                      ⇔ 2x² − 14x − 6 = 3x − 2x + 8

                                                      ⇔ 2x² − 15x − 14 = 0; ∆ = 225 + 112 = 337

                                                      x₁ = $\frac{15 + \sqrt{337}}{4}$ , x₂ = $\frac{15 - \sqrt{337}}{4}$ 

e) $\frac{14}{x^2 - 9} = 1 - \frac{1}{3 - x}$ . Điều kiện: x ≠±3

Phương trình được viết lại: $\frac{14}{x^2- 9} = 1\hspace{0.17em}+ \frac{1}{x - 3}$ 

                     ⇔ 14 = x² − 9 + x + 3 

                     ⇔ x² + x − 20 = 0, ∆ = 1+ 4.20 = 81

nên x₁ = $\frac{- 1 - 9}{2}$ = −5 ; x₂ = $\frac{-1 + 9}{2}$ = 4 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = −5, x₂ = 4.

f) $\frac{2x}{x + 1} = \frac{x^2 - x + 8}{(x +1)(x- 4)}$. Điều kiện: x ≠ −1, x ≠ 4 

Phương trình tương đương với:

                   2x(x − 4) = x² − x + 8 ⇔ 2x² − 8x − x² + x − 8 = 0

                                                      ⇔ x² − 7x − 8 = 0 

Có a − b + c = 1 − (−7) − 8 = 0 nên x₁ = −1, x₂ = 8

Vì x₁ = −1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là x = 8.