Giải các phương trình trùng phương.

a) 9x⁴ − 10x² + 1 = 0;                                     b) 5x⁴ + 2x² − 16 = 10 − x² ;

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0;                              d) 2x² + 1 = $\frac{1}{x^2}$ − 4.

Giải

a) 9x⁴ − 10x² + 1 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có: 9t² − 10t + 1 = 0.

Vì a + b + c = 9 − 10 + 1 = 0 nên t₁ = 1, t₂ = $\frac{1}{9}$ .

Suy ra: x₁ = −1, x₂ = 1, x₃ = −$\frac{1}{3}$ 

b) 5x⁴ + 2x² − 16 = 10 − x² ⇔ 5x⁴ + 3x² − 26 = 0.

Đặt t = x² ≥ 0, ta có: 5t² + 3t − 26 = 0

∆ = 9 + 4.5.26 = 529 = 23² ; t₁ = 2, t₂ = −2,6 (loại). Do đó: x₁ = $\sqrt{2}$ , x₂ = −$\sqrt{2}$ 

c) 0,3x⁴ +1,8x² + 1,5 = 0 ⇔ x⁴ + 6x² + 5 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có:

                   t² + 6t + 5 = 0, t₁ = −1 (loại), t₂ = −5 (loại).

Phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Cũng có thể nhận xét rằng vế trái x⁴ + 6x² + 5 ≥ 5, còn vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm.

d) 2x² + 1 = $\frac{1}{x^2}$ − 4 ⇔ 2x² + 5 − $\frac{1}{x^2}$ = 0. Điều kiện: x ≠ 0

2x⁴ + 5x² − 1 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có:

2t² + 5t − 1 = 0; ∆ = 25 + 8 = 33 , t₁ = $\frac{-5 +\sqrt{33}}{4}$ , t₂ = $\frac{-5 - \sqrt{33}}{4}$ (loại)

Do đó: x₁ = $\frac{\sqrt{-5 + \sqrt{33}}}{2}$ , x₂ = −$\frac{\sqrt{-5 + \sqrt{33}}}{2}$