Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N

a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng mính AM.BN = $R^2$

c) Tính tỉ số $\frac{S_{MON}}{S_{APB}} khi AM = \frac{R}{2}$

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.

Giải

a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của AOP, BOP (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà AOP kề bù với BOP nên suy ra OM vuông gốc với On.

Vậy $∆MON$ vuông tại O.

Lại có $$\begin{gathered} ∆APB vuông vì có \widehat{APB}= 1v (gócội tiếp chắn nửa cung tròn) \\ Tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn vì có \widehat{MAO} + \widehat{MPO} = 2v. Nên \widehat{PMO} = \widehat{PAO} (cùng chắn \widehat{OP}) \end{gathered}$$

Vạy hai tam giác vuông MON và APB đồng dạng vì có cặp góc nhọn bằng nhau.

b) Ta có AM = MP, BN = NP (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Tam giác vuông MON có Op là đường cao nên:

$$\begin{gathered} MP.PN = O{P}^2 \left(2\right) \\ Từ \left(1\right) và \left(2\right) suy ra: AM.BN = MP.PN = O{P}^2=R^2 \end{gathered}$$

c) Từ tam giác MON đồng dạng với tam giác APB ta có $$\begin{gathered} \frac{S_{MON}}{S_{APB}} = \frac{M{N}^2}{A{B}^2} \\ Khi AM = \frac{R}{2} thì do AM.BN = R^2 suy ra BN = 2R. \\ Do đó MN = MP\hspace{0.17em}+ PN = AM + BN = \frac{R}{2} +2R = \frac{5R}{2} \\ Suy ra M{N}^2 = \frac{25}{4}{R}^2 \\ Vậy \frac{S_{MON}}{S_{APB}}= \frac{4}{{\left(2R\right)}^2}=\frac{25}{16} \end{gathered}$$

d) Nửa hình tròn APB quay quanh bán kính AB = 2R sinh ra một hình cầu bán kính R

Vậy: $S_{cầu}= \frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3$