Hướng dẫn giải Bài 37 (Trang 126 SGK Toán 9 Hình học, Tập 2)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng. b) Chứng mính AM.BN = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></math> c) Tính tỉ số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>S</mi><mrow><mi>M</mi><mi>O</mi><mi>N</mi></mrow></msub><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi></mrow></msub></mfrac><mo> </mo><mi>k</mi><mi>h</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>A</mi><mi>M</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>R</mi><mn>2</mn></mfrac></math> d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra. Giải a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của AOP, BOP (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà AOP kề bù với BOP nên suy ra OM vuông gốc với On. Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo><mi>M</mi><mi>O</mi><mi>N</mi></math> vuông tại O. Lại có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi><mo> </mo><mi>v</mi><mi>u</mi><mi>ô</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>v</mi><mi>ì</mi><mo> </mo><mi>c</mi><mi>ó</mi><mo> </mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mi>v</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>g</mi><mi>ó</mi><mi>c</mi><mi>ộ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>ế</mi><mi>p</mi><mo> </mo><mi>c</mi><mi>h</mi><mi>ắ</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>n</mi><mi>ử</mi><mi>a</mi><mo> </mo><mi>c</mi><mi>u</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>ò</mi><mi>n</mi><mo>)</mo><mspace linebreak="newline"/><mi>T</mi><mi>ứ</mi><mo> </mo><mi>g</mi><mi>i</mi><mi>á</mi><mi>c</mi><mo> </mo><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>P</mi><mi>M</mi><mo> </mo><mi>n</mi><mi>ộ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>ế</mi><mi>p</mi><mo> </mo><mi>đ</mi><mi>ư</mi><mi>ờ</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>ò</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>v</mi><mi>ì</mi><mo> </mo><mi>c</mi><mi>ó</mi><mo> </mo><mover><mrow><mi>M</mi><mi>A</mi><mi>O</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>M</mi><mi>P</mi><mi>O</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>v</mi><mo>.</mo><mo> </mo><mi>N</mi><mi>ê</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mover><mrow><mi>P</mi><mi>M</mi><mi>O</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>P</mi><mi>A</mi><mi>O</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>(</mo><mi>c</mi><mi>ù</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>c</mi><mi>h</mi><mi>ắ</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mover><mrow><mi>O</mi><mi>P</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>)</mo></math> Vạy hai tam giác vuông MON và APB đồng dạng vì có cặp góc nhọn bằng nhau. <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/28022022/37-dk3YFh.jpg" /> b) Ta có AM = MP, BN = NP (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Tam giác vuông MON có Op là đường cao nên: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mi>P</mi><mo>.</mo><mi>P</mi><mi>N</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>O</mi><msup><mi>P</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mspace linebreak="newline"/><mi>T</mi><mi>ừ</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mi>s</mi><mi>u</mi><mi>y</mi><mo> </mo><mi>r</mi><mi>a</mi><mo>:</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mi>M</mi><mo>.</mo><mi>B</mi><mi>N</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>M</mi><mi>P</mi><mo>.</mo><mi>P</mi><mi>N</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>O</mi><msup><mi>P</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></math> c) Từ tam giác MON đồng dạng với tam giác APB ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>S</mi><mrow><mi>M</mi><mi>O</mi><mi>N</mi></mrow></msub><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi></mrow></msub></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mi>M</mi><msup><mi>N</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mi>K</mi><mi>h</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>A</mi><mi>M</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>R</mi><mn>2</mn></mfrac><mo> </mo><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>ì</mi><mo> </mo><mi>d</mi><mi>o</mi><mo> </mo><mi>A</mi><mi>M</mi><mo>.</mo><mi>B</mi><mi>N</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>s</mi><mi>u</mi><mi>y</mi><mo> </mo><mi>r</mi><mi>a</mi><mo> </mo><mi>B</mi><mi>N</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>R</mi><mo>.</mo><mspace linebreak="newline"/><mi>D</mi><mi>o</mi><mo> </mo><mi>đ</mi><mi>ó</mi><mo> </mo><mi>M</mi><mi>N</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>M</mi><mi>P</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>P</mi><mi>N</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mi>M</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mi>N</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>R</mi><mn>2</mn></mfrac><mo> </mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>R</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>R</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mi>S</mi><mi>u</mi><mi>y</mi><mo> </mo><mi>r</mi><mi>a</mi><mo> </mo><mi>M</mi><msup><mi>N</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>25</mn><mn>4</mn></mfrac><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup><mspace linebreak="newline"/><mi>V</mi><mi>ậ</mi><mi>y</mi><mo> </mo><mfrac><msub><mi>S</mi><mrow><mi>M</mi><mi>O</mi><mi>N</mi></mrow></msub><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi></mrow></msub></mfrac><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>4</mn><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>R</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>25</mn><mn>16</mn></mfrac></math> d) Nửa hình tròn APB quay quanh bán kính AB = 2R sinh ra một hình cầu bán kính R Vậy: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>c</mi><mi>ầ</mi><mi>u</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac><msup><mi>πR</mi><mn>3</mn></msup></math>