Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm)

a) Tìm một hệ thứ giữa x và h khi AA' có độ dài không đổi và bằng 2a.

b) Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặ và thể tích của chi tiết máy theo x và a.

Giải

a) Ta có: h + 2x = 2a

b) - Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{xq} = 2\mathrm{\pi }xh$

    - Diện tích mặt cầu: $S_{cầu} = 4\mathrm{\pi }{x}^2$

Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy:

$$\begin{gathered} S = S_{trụ} + S_{cầu}= 2\mathrm{\pi }xh + 2\mathrm{\pi }{x}^2 \\ = 2\mathrm{\pi }x (h + 2x) = 4\mathrm{\pi a}x \end{gathered}$$

Thể tích cần tính gồm thể tích hình trụ và thể tích hình câu. Ta có: 

$$\begin{gathered} V_{trụ}={\mathrm{\pi x}}^2\mathrm{h} \\ {\mathrm{V}}_{\mathrm{cầu}}= \frac{4}{3}{\mathrm{\pi x}}^3 \end{gathered}$$

nên thể tích của chi tiết máy là:

$$\begin{gathered} V = V_{trụ} + V_{\mathrm{cầu}} = {\mathrm{\pi x}}^2\mathrm{h} + \frac{4}{3}{\mathrm{\pi x}}^3 \\ = 2{\mathrm{\pi x}}^2 (a-x) + \frac{4}{3}{\mathrm{\pi x}}^3 = 2{\mathrm{\pi x}}^{2}a - \frac{2}{3}\mathrm{\pi }{x}^2= 2{\mathrm{\pi x}}^2(a-\frac{1}{3}x) \end{gathered}$$