Bài 14 (Trang 77 SGK Toán Hình học 9, Tập 1):

Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn α tùy ý, ta có: 

a) $\mathrm{tg} \mathrm{\alpha } = \frac{\sin \mathrm{\alpha }}{\cos \mathrm{\alpha }}; \mathrm{cotg} \mathrm{\alpha } = \frac{\cos \mathrm{\alpha }}{\sin \mathrm{\alpha }}; \mathrm{tg} \mathrm{\alpha } . \mathrm{cotg} \mathrm{\alpha } = 1;$

b) ${\sin }^2\mathrm{\alpha } + {\cos }^2\mathrm{\alpha } = 1$

Gợi ý: Sử dụng định lí Py-ta-go.

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có $\hat{\mathrm{A}} = 90°$

$\Rightarrow \hat{\mathrm{B}} + \hat{\mathrm{C}} = 90°$

$\Rightarrow \hat{\mathrm{C}} < 90°$

Đặt $\hat{\mathrm{C}} = \mathrm{\alpha } \mathrm{hay} \mathrm{\alpha } < 90°$

Do đó $\alpha$ là góc nhọn.

Các tỉ số lượng giác của góc $\hat{\mathrm{C}} = \mathrm{\alpha }$ như sau:

$$\begin{gathered} \sin \mathrm{\alpha } = \sin \mathrm{C} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ \cos \mathrm{\alpha } = \cos \mathrm{C} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} \\ \tan \mathrm{\alpha } = \tan \mathrm{C} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} \\ \cot \mathrm{\alpha } = \cot \mathrm{C} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} \end{gathered}$$

Ta có thể thấy rằng:

$\frac{\sin \mathrm{\alpha }}{\cos \mathrm{\alpha }} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}:\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}.\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} = \tan \mathrm{\alpha } \left(\mathrm{đpcm}\right)$

$\frac{\cos \mathrm{\alpha }}{\sin \mathrm{\alpha }} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}:\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}.\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} = \cot \mathrm{\alpha } \left(\mathrm{đpcm}\right)$

$\tan \mathrm{\alpha } . \cot \mathrm{\alpha } = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}.\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} = 1 \left(\mathrm{đpcm}\right)$

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 +\hspace{0.17em}{\mathrm{AC}}^2 (\mathrm{theo} \mathrm{định} \mathrm{lí} \mathrm{Py}-\mathrm{ta}-\mathrm{go}) \left(1\right)$

Mặt khác, ta có:

${\sin }^2\mathrm{\alpha } = {\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\right)}^2 = \frac{{\mathrm{AB}}^2}{{\mathrm{BC}}^2}$

${\cos }^2\mathrm{\alpha } = {\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\right)}^2 = \frac{{\mathrm{AB}}^2}{{\mathrm{BC}}^2}$

$\Rightarrow {\sin }^2\mathrm{\alpha } + {\cos }^2\mathrm{\alpha } = \frac{{\mathrm{AB}}^2}{{\mathrm{BC}}^2} + \frac{{\mathrm{AC}}^2}{{\mathrm{BC}}^2} = \frac{{\mathrm{AB}}^2 +\hspace{0.17em}{\mathrm{AC}}^2}{{\mathrm{BC}}^2} = \frac{{\mathrm{BC}}^2}{{\mathrm{BC}}^2} = 1 (\mathrm{theo} (1\left)\right)$

Vậy ${\sin }^2\mathrm{\alpha } + {\cos }^2\mathrm{\alpha } = 1 \left(\mathrm{đpcm}\right)$