Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mi>β</mi></math>
Hướng dẫn giải Bài 14 (Trang 77 SGK Toán Hình học 9, Tập 1)
<p><strong>Bài 14 (Trang 77 SGK Toán Hình học 9, Tập 1):</strong></p>
<p>Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn α tùy ý, ta có: </p>
<p>a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tg</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow></mfrac><mo>;</mo><mo> </mo><mi>cotg</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow></mfrac><mo>;</mo><mo> </mo><mi>tg</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>.</mo><mo> </mo><mi>cotg</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>;</mo></math></p>
<p>b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn></math></p>
<p>Gợi ý: Sử dụng định lí Py-ta-go.</p>
<p> </p>
<p><strong><span style="text-decoration: underline;"><em>Hướng dẫn giải:</em></span></strong></p>
<p><img src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/10052022/bai-14-trand-77-sdk-toan-9-tap-1-3-sua2022-eoFh6Y.png" alt="" width="240" height="205" /></p>
<p style="text-align: left;">a) Xét tam giác ABC vuông tại A có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi mathvariant="normal">A</mi><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>90</mn><mo>°</mo></math></p>
<p style="text-align: left;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo> </mo><mover><mi mathvariant="normal">B</mi><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mover><mi mathvariant="normal">C</mi><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>90</mn><mo>°</mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo> </mo><mover><mi mathvariant="normal">C</mi><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo><</mo><mo> </mo><mn>90</mn><mo>°</mo></math></p>
<p>Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi mathvariant="normal">C</mi><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mi>hay</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo><</mo><mo> </mo><mn>90</mn><mo>°</mo></math></p>
<p>Do đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> là góc nhọn.</p>
<p>Các tỉ số lượng giác của góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi mathvariant="normal">C</mi><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi></math> như sau:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sin</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">C</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>AB</mi><mi>BC</mi></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mi>cos</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">C</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>AC</mi><mi>BC</mi></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mi>tan</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>tan</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">C</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>AC</mi><mi>AB</mi></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mi>cot</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>cot</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">C</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>AC</mi><mi>AB</mi></mfrac></math></p>
<p>Ta có thể thấy rằng:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>AB</mi><mi>BC</mi></mfrac><mo>:</mo><mfrac><mi>AC</mi><mi>BC</mi></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>AB</mi><mi>BC</mi></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mi>BC</mi><mi>AC</mi></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>tan</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>đpcm</mi><mo>)</mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>AC</mi><mi>BC</mi></mfrac><mo>:</mo><mfrac><mi>AB</mi><mi>BC</mi></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>AC</mi><mi>BC</mi></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mi>BC</mi><mi>AB</mi></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>AC</mi><mi>AB</mi></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>cot</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>đpcm</mi><mo>)</mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>tan</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>.</mo><mo> </mo><mi>cot</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>AB</mi><mi>AC</mi></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mi>AC</mi><mi>AB</mi></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>(</mo><mi>đpcm</mi><mo>)</mo></math></p>
<p>b) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>BC</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mi>AB</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi>AC</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>(</mo><mi>theo</mi><mo> </mo><mi>định</mi><mo> </mo><mi>lí</mi><mo> </mo><mi>Py</mi><mo>-</mo><mi>ta</mi><mo>-</mo><mi>go</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math></p>
<p>Mặt khác, ta có:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mfenced><mfrac><mi>AB</mi><mi>BC</mi></mfrac></mfenced><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mi>AB</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>BC</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mfenced><mfrac><mi>AB</mi><mi>BC</mi></mfrac></mfenced><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mi>AB</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>BC</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo> </mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mi>AB</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>BC</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mi>AC</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>BC</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><msup><mi>AB</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi>AC</mi><mn>2</mn></msup></mrow><msup><mi>BC</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mi>BC</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>BC</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>(</mo><mi>theo</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>)</mo></math></p>
<p>Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">α</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>(</mo><mi>đpcm</mi><mo>)</mo></math></p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Bài 10 (Trang 76 SGK Toán Hình học 9, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 11 (Trang 76 SGK Toán Hình học 9, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 12 (Trang 76 SGK Toán Hình học 9, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 13 (Trang 77 SGK Toán Hình học 9, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 15 (Trang 77 SGK Toán Hình học 9, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 16 (Trang 77 SGK Toán Hình học 9, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 17 (Trang 77 SGK Toán Hình học 9, Tập 1)
Xem lời giải