Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua điểm $A$, gọi $F$ là điểm đối xứng với $D$qua điểm $C$. Chứng minh rằng điểm $E$ đối xứng với điểm $F$ qua điểm $B$.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành (giả thiết)
$\Rightarrow A\mathrm{D}//BC,A\mathrm{B}//DC,A\mathrm{D}=BC,A\mathrm{B}=DC$ (tính chất hình bình hành)
Mà $E\in A\mathrm{D}$ (giả thiết) $\Rightarrow AE//BC$
Vì E là điểm đối xứng với D qua điểm A (giả thiết)
$\Rightarrow AE=A\mathrm{D}$ (tính chất hai điểm đối xứng qua 1 điểm)
$\Rightarrow AE=BC$ (cùng bằng AD )
Kết hợp với AE//BC (chứng minh trên)
$\Rightarrow$ Tứ giác ACBE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
$\Rightarrow BE//AC,BE=AC$ (1) (tính chất hình bình hành)
Ta có: AB//DC (chứng minh trên) $\Rightarrow AB//CF$
Vì F là điểm đối xứng với D qua điểm C (giả thiết)
$\Rightarrow CD=CF$ (tính chất hai điểm đối xứng qua 1 điểm)
$\Rightarrow AB=CF$ (cùng bằng DC )
Kết hợp với AB//CF (chứng minh trên)
$\Rightarrow$ Tứ giác ACFB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
$\Rightarrow BF//AC,BF=AC$ (2) (tính chất hình bình hành)
Từ (1) và (2) suy ra BE và BF cùng song song với AC và cùng đi qua điểm B nên theo tiên đề ơclit BE trùng BF hay B, E, F thẳng hàng.
Lại có: BE=BF (cùng bằng AC) do đó B là trung điểm của EF
Vậy E đối xứng với F qua B.