Đề bài

Cho góc vuông $xOy$, điểm $A$ nằm trong góc đó. Gọi $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua $Ox$, gọi $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua $Oy$. Chứng minh rằng điểm $B$ đối xứng với điểm $C$ qua $O$.

Lời giải chi tiết

A đối xứng với B qua Ox (giả thiết) nên Ox là đường trung trực của AB
$\Rightarrow OA=OB$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (1)
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AOB$ cân tại O (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
Do đó Ox vừa là đường trung trự'c đồng thời là phân giác của $\mathrm{△}AOB$

$\Rightarrow {\widehat{O}}_1={\widehat{O}}_2$ (3)
A đối xứng với C qua Oy (giả thiết) nên Oy là đường trung trực của AC
$\Rightarrow OA=OC$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (2)
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AOC$ cân tại O (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
Do đó Oy vừa là đường trung trực đồng thời là phân giác của $\mathrm{△}AOC$

$\Rightarrow {\widehat{O}}_3={\widehat{O}}_4$ (4)
Từ (3) và (4) $\Rightarrow {\widehat{O}}_1+{\widehat{O}}_2+{\widehat{O}}_3+{\widehat{O}}_4$

$=2{\widehat{O}}_2+2{\widehat{O}}_3=2({\widehat{O}}_2+{\widehat{O}}_3)=2\widehat{xOy}={2.90}^0={180}^0$
Do đó B, O, C thẳng hàng (* *)
Từ (1) và $\Rightarrow OB=OC({}^{*})$
Từ (*) và (* *) $\Rightarrow B$ đối xứng với C qua O.