Đề bài

Tam giác ABC có độ dài các cạnh là $3cm,4cm,5cm$. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là $54c{m}^2$

Tính độ dài cách cạnh của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Lời giải chi tiết

Xét $\mathrm{△}ABC$ có $AB=3\mathrm{cm},AC=4\mathrm{cm},BC=5\mathrm{cm}$.
Ta có:
$3^2+4^2=25=5^2\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại A (định lí Pitago đảo)
Nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6{\mathrm{cm}}^2$
vì $\mathrm{△}ABC~\mathrm{\Delta }{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\left(\mathrm{gt}\right)$
$\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{AC}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)
$\Rightarrow \frac{S_{ABC}}{S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}={\left(\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\right)}^2$ (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)
Do đó: $\frac{6}{54}={\left(\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\right)}^2$
$\Rightarrow {\left(\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\right)}^2=\frac{1}{9}$
$\Rightarrow \frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=3AB=3.3=9\mathrm{cm}$

Tức là độ dài mỗi cạnh của tam giác $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ gấp 3 lần độ dài mỗi cạnh của cạnh của tam giác ABC.
Vậy ba cạnh của tam giác $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}là A{}^{\text{'}}B^{\text{'}}=9\mathrm{cm},A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=12\mathrm{cm},B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=15\mathrm{cm}.$